交叉熵损失函数反向传播

交叉熵是一种常用的损失函数，通常用于分类问题中。在反向传播算法中，我们需要计算损失函数对模型参数的梯度，以便更新模型参数。

对于二分类问题，交叉熵损失函数可以表示为：

L = -[ylog(p) + (1-y)log(1-p)]

其中，y表示真实标签，p表示模型预测的概率。该损失函数对模型参数的梯度可以表示为：

∂L/∂w = (p-y)x

其中，w表示模型参数，x表示输入特征。

对于多分类问题，交叉熵损失函数可以表示为：

L = -∑ylog(p)

其中，y表示真实标签的one-hot编码向量，p表示模型预测的概率分布向量。该损失函数对模型参数的梯度可以表示为：

∂L/∂w = ∑(p-y)x

需要注意的是，对于多分类问题，softmax函数通常用于将模型的输出转化成概率分布向量。反向传播算法的实现通常采用自动微分技术，可以自动计算损失函数对模型参数的梯度。

相关问题

交叉熵损失的反向传播

交叉熵损失函数是在分类问题中常用的一种损失函数，它衡量了模型输出与真实标签之间的差异。在反向传播算法中，我们需要计算交叉熵损失函数对模型参数的梯度，以便进行参数更新。

反向传播的过程可以分为两个步骤：前向传播和反向传播。

1. 前向传播：
在前向传播过程中，我们首先计算模型的预测输出和真实标签之间的交叉熵损失。假设模型的输出为y_pred，真实标签为y_true，则交叉熵损失可以表示为：
L = -sum(y_true * log(y_pred))
其中，log表示自然对数，sum表示求和运算。

2. 反向传播：
在反向传播过程中，我们需要计算交叉熵损失函数对模型参数的梯度。具体而言，对于每个参数w，我们需要计算损失函数L对w的偏导数dL/dw。

首先，我们计算损失函数L对模型输出y_pred的偏导数dL/dy_pred。根据交叉熵损失函数的定义，有：
dL/dy_pred = -y_true / y_pred

然后，我们利用链式法则计算损失函数L对模型参数w的偏导数dL/dw。具体而言，对于每个参数w，有：
dL/dw = dL/dy_pred * dy_pred/dw

最后，我们可以根据具体的模型结构和参数更新规则，将dL/dw传递给前一层的参数，继续进行反向传播，直到计算出所有参数的梯度。

交叉熵损失函数的反向传播

交叉熵损失函数的反向传播可以使用链式法则进行推导。假设神经网络的输出为 $y_i$，真实标签为 $t_i$，则交叉熵损失函数为：

$$
L = -\sum_i t_i \log y_i
$$

我们需要计算 $\frac{\partial L}{\partial y_i}$，再通过链式法则计算出其他参数的梯度。

首先，根据导数的定义，有：

$$
\frac{\partial L}{\partial y_i} = -\frac{t_i}{y_i}
$$

接下来，我们需要计算 $\frac{\partial y_i}{\partial z_j}$，其中 $z_j$ 表示第 $j$ 个神经元的输入。根据 softmax 函数的定义，有：

$$
y_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}
$$

当 $i=j$ 时有：

$$
\frac{\partial y_i}{\partial z_i} = \frac{\partial}{\partial z_i} \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} = \frac{e^{z_i} \sum_j e^{z_j} - e^{z_i} e^{z_i}}{(\sum_j e^{z_j})^2} = y_i (1 - y_i)
$$

当 $i \neq j$ 时有：

$$
\frac{\partial y_i}{\partial z_j} = \frac{\partial}{\partial z_j} \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} = -\frac{e^{z_i} e^{z_j}}{(\sum_j e^{z_j})^2} = -y_i y_j
$$

接下来，我们可以计算 $\frac{\partial L}{\partial z_j}$：

$$
\frac{\partial L}{\partial z_j} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial z_j} = -\sum_i \frac{t_i}{y_i} y_i (1 - y_i) + \sum_{i \neq j} \frac{t_i}{y_i} y_i y_j = -t_j + y_j \sum_i t_i = y_j - t_j
$$

最后，根据链式法则，我们可以计算出其他参数的梯度：

$$
\frac{\partial L}{\partial w_{jk}} = \frac{\partial L}{\partial z_j} \frac{\partial z_j}{\partial w_{jk}} = x_k (y_j - t_j)
$$

$$
\frac{\partial L}{\partial b_j} = \frac{\partial L}{\partial z_j} \frac{\partial z_j}{\partial b_j} = y_j - t_j
$$

其中 $w_{jk}$ 表示第 $j$ 个神经元与第 $k$ 个输入之间的权重，$b_j$ 表示第 $j$ 个神经元的偏置。