交叉熵损失函数的梯度

交叉熵损失函数的梯度可以通过反向传播算法求得。根据链式法则，可以将梯度计算分为两个步骤：计算输出层对网络输入的梯度，以及计算隐层对输出层输出的梯度。

首先，计算输出层对网络输入的梯度。对于交叉熵损失函数，输出层的梯度可以通过以下公式计算：
∂L/∂z = y - t
其中，∂L/∂z是损失函数对网络输入的梯度，y是网络输出的预测值，t是真实标签的one-hot向量。

接下来，计算隐层对输出层输出的梯度。对于Softmax函数，其导数可以表示为：
∂z/∂a_i = z_i * (1 - z_i)，其中a_i是输出层的第i个元素，z_i是经过Softmax函数后的输出。

最后，根据链式法则，将两个梯度相乘得到隐层对网络输入的梯度：
∂L/∂a_i = (∂L/∂z) * (∂z/∂a_i) = (y - t) * z_i * (1 - z_i)

以上是交叉熵损失函数的梯度计算方法。

相关问题

分类交叉熵损失函数梯度

分类交叉熵损失函数的梯度可以用以下公式表示：

$$\frac{\partial L}{\partial z_i} = \frac{\partial}{\partial z_i} \left(-\sum_{j=1}^C y_j \log(\hat{y}_j)\right) = \hat{y}_i - y_i$$

其中，$L$是分类交叉熵损失函数，$z_i$是输出层第$i$个神经元的输入，$\hat{y}_i$是模型预测的第$i$个类别的概率，$y_i$是实际标签的第$i$个类别的概率。$C$是类别数。

该公式的含义是，分类交叉熵损失函数对于模型预测的每个类别的概率，都会计算一个误差值，即预测值与实际值之间的差距。这个误差值就是梯度，用来更新网络中的权重和偏置，以最小化损失函数。具体来说，对于输出层的每个神经元$i$，梯度的计算方式是将预测值减去实际值，即$\hat{y}_i - y_i$。

加权交叉熵损失函数的梯度

根据提供的引用内容，没有提到加权交叉熵损失函数的梯度。但是，我们可以简单介绍一下交叉熵损失函数的梯度计算方法。

交叉熵损失函数是一种常用的分类损失函数，它的梯度计算方法相对简单。假设我们有一个样本$x$，它的真实标签为$y$，预测标签为$\hat{y}$，则交叉熵损失函数可以表示为：

$L=-\sum_{i=1}^{C}y_i\log\hat{y_i}$

其中，$C$表示类别数。对于第$j$个类别，其梯度可以表示为：

$\frac{\partial L}{\partial \hat{y_j}}=-\frac{y_j}{\hat{y_j}}$

对于其他类别$k\neq j$，其梯度可以表示为：

$\frac{\partial L}{\partial \hat{y_k}}=-\frac{y_k}{\hat{y_k}}$

因此，我们可以通过计算每个类别的梯度，来更新模型参数，从而最小化交叉熵损失函数。