交叉熵损失函数 softmax

### 关于交叉熵损失函数与Softmax的关系及用法

#### Softmax 函数的作用
在多分类问题中，Softmax函数用于将神经网络最后一层的输出转换成概率分布形式。该函数可以确保所有类别的预测得分之和等于1，并且每个类别对应的值都在0到1之间[^1]。

import numpy as np

def softmax(x):
    """Compute the softmax of vector x."""
    e_x = np.exp(x - np.max(x))
    return e_x / e_x.sum(axis=0)

# Example usage
scores = [2.0, 1.0, 0.1]
probs = softmax(scores)
print(probs)

#### 交叉熵损失函数的工作机制
对于一个多分类任务来说，如果采用的是独热编码(one-hot encoding)，那么交叉熵损失函数可以通过下面的方式定义：

\[ L(y,\hat{y})=-\sum_{i} y_i \log(\hat{y}_i)\]

其中\(y\)表示真实的标签向量（通常是one-hot），而\(\hat{y}\)则是通过Softmax得到的概率估计向量[^3]。

当我们将Softmax同交叉熵结合起来时，实际上是在衡量模型给出的概率分布与实际标签之间的差距大小。这种组合不仅有助于加速梯度下降过程中的收敛速度，而且还能有效防止过拟合现象的发生[^4]。

#### 应用场景实例
考虑一个简单的图像识别案例——区分不同类型的动物图片。假设存在三个可能的结果：“猫”，“狗”以及“鸟”。此时就可以利用卷积神经网络提取特征并经过全连接层之后接入Softmax层来获得每种动物对应的可能性分数。最后再借助交叉熵作为优化目标指导整个训练流程[^2]。