多分类交叉熵损失函数的梯度值

多分类交叉熵损失函数是在多分类问题中常用的一种损失函数，用于衡量模型预测结果与真实标签之间的差异。其梯度值的计算可以通过求导得到。

假设有N个类别，模型的输出为一个N维向量，表示每个类别的预测概率。真实标签可以表示为一个N维的one-hot向量，其中只有一个元素为1，其余元素为0。多分类交叉熵损失函数的表达式如下：

L = -sum(y_i * log(p_i))

其中，y_i表示真实标签的第i个元素，p_i表示模型预测的第i个类别的概率。

对于第i个类别，其梯度值的计算可以分为两部分：对预测概率的导数和对输入的导数。

1. 对预测概率的导数：
dL/dp_i = -y_i / p_i

2. 对输入的导数：
dL/dz_i = p_i - y_i

其中，z_i表示模型输出的第i个类别的输入。

需要注意的是，对于其他类别j(j ≠ i)，其梯度值为：
dL/dp_j = 0
dL/dz_j = p_j

这是因为只有真实标签对应的类别才会对损失函数产生影响。