交叉熵损失函数，梯度下降中求偏导

交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss），常用于深度学习中的分类任务，尤其是在神经网络训练中作为优化目标。它衡量了模型预测的概率分布与真实标签之间的差异。当真实标签是一个独热编码（one-hot vector），例如二分类问题中的0-1向量，交叉熵可以直观地表示模型预测有多接近正确的类别。

在梯度下降算法中，求偏导数是关键步骤之一。当我们说“损失函数关于权重的偏导数”，我们想知道如何调整每个权重才能最小化损失。对于交叉熵损失而言，计算出每个权重对损失函数的影响，即梯度，可以告诉我们应该朝哪个方向更新权重。这一步通过链式法则（backpropagation）完成，从输出层开始，逐层向前回溯，计算每层的梯度并应用于反向传播过程。

相关问题

交叉熵损失函数，梯度下降中求偏导，写出公式

交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss），常用于深度学习中尤其是分类任务，它衡量了实际标签分布与预测概率分布之间的差异。在二分类问题中，它的形式通常是：

假设真实类别为 \( y \)，预测概率为 \( p \)，那么交叉熵损失 \( L \) 可以表示为：
\[ L = -\sum_{i=1}^{n}y_i \log(p_i) \]
其中 \( n \) 是样本的数量，\( y_i \) 是第 \( i \) 个样本的真实标签（0 或 1），\( p_i \) 是模型预测的概率（范围在 [0,1] 内）。

在梯度下降优化过程中，我们关心的是如何通过调整权重参数来最小化这个损失函数。对于交叉熵损失，偏导数（梯度）可以用来指导参数更新，对于单个样本 \( (x, y) \) 的损失函数关于参数 \( w \) 的偏导数为：
\[ \frac{\partial L}{\partial w_j} = -\frac{1}{N}(p_j - y_j)x_j \]
这里的 \( j \) 是权重参数的索引，\( N \) 是样本总数，\( x_j \) 是输入特征的第 \( j \) 分量，\( p_j \) 是网络预测的概率。

梯度下降算法会根据上述偏导数来调整每个参数 \( w_j \)：
\[ w_j := w_j - \alpha \cdot \frac{\partial L}{\partial w_j} \]
这里 \( \alpha \) 是学习率，控制着参数更新的步长。

python怎么定义逻辑回归模型的交叉熵损失函数，梯度下降函数

定义逻辑回归模型的交叉熵损失函数：

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def cross_entropy_loss(y, y_hat):
    return -(y * np.log(y_hat) + (1 - y) * np.log(1 - y_hat)).mean()

其中，sigmoid函数用来计算模型的预测值，交叉熵损失函数用来评估模型的预测效果。

定义梯度下降函数：

def gradient_descent(X, y, alpha=0.01, num_iters=1000):
    m, n = X.shape
    theta = np.zeros((n, 1))
    for i in range(num_iters):
        h = sigmoid(X.dot(theta))
        loss = cross_entropy_loss(y, h)
        gradient = X.T.dot(h - y) / m
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta

其中，X是特征矩阵，y是标签矩阵，alpha是学习率，num_iters是迭代次数，theta是模型参数。每次迭代中，计算模型的预测值h和损失函数loss，然后根据梯度下降算法更新模型参数theta。最终返回训练得到的模型参数theta。