Mirika 有一个长度为 � n 的括号序列 � s。 对于一个括号序列 � S，Mirika 可以执行两种操作： 变换：选择一个位置 � i 满足 1 ≤ � ≤ ∣ � ∣ 1≤i≤∣S∣，使得 � S 变为 � � � � + 1 ⋯ � ∣ � ∣ � 1 � 2 ⋯ � � − 2 � � − 1 S i ​ S i+1 ​ ⋯S ∣S∣ ​ S 1 ​ S 2 ​ ⋯S i−2 ​ S i−1 ​ 。 插入：在这个序列的 任意位置 插入一个括号（左右括号均可）。 Mirika 定义括号序列 � S 的权值 � ( � ) f(S) 为能将这个括号序列变成一个合法括号序列所需的最小操作数。 其中，合法括号序列的定义为： 空串为 合法括号序列。 若 A A 为 合法括号序列，则 (A) (A) 为 合法括号序列。 若 A , B A,B 均为 合法括号序列，则 AB AB 也为 合法括号序列。 现在 Mirika 想要求出： ∑ � = 1 � ∑ � = � � � ( � [ � , � ] ) ∑ l=1 n ​ ∑ r=l n ​ f(s[l,r]) 其中 � [ � , � ] s[l,r] 表示由 � � , � � + 1 , ⋯ , � � s l ​ ,s l+1 ​ ,⋯,s r ​ 形成的连续子序列。 但是 Mirika 太菜了不会算，于是只好求助于你。

好的，你的问题是：给定一个长度为 $n$ 的括号序列 $s$，定义权值 $f(S)$ 为能将 $S$ 变成一个合法括号序列所需的最小操作数，包括变换和插入两种操作。现在求 $\sum\limits_{l=1}^n\sum\limits_{r=l}^n f(s[l,r])$ 的值。其中 $s[l,r]$ 表示由 $s_l,s_{l+1},\cdots,s_r$ 形成的连续子序列。

相关问题

怎么解决这个问题Mirika 有一个长度为 � n 的括号序列 � s。 对于一个括号序列 � S，Mirika 可以执行两种操作： 变换：选择一个位置 � i 满足 1 ≤ � ≤ ∣ � ∣ 1≤i≤∣S∣，使得 � S 变为 � � � � + 1 ⋯ � ∣ � ∣ � 1 � 2 ⋯ � � − 2 � � − 1 S i ​ S i+1 ​ ⋯S ∣S∣ ​ S 1 ​ S 2 ​ ⋯S i−2 ​ S i−1 ​ 。 插入：在这个序列的 任意位置 插入一个括号（左右括号均可）。 Mirika 定义括号序列 � S 的权值 � ( � ) f(S) 为能将这个括号序列变成一个合法括号序列所需的最小操作数。 其中，合法括号序列的定义为： 空串为 合法括号序列。 若 A A 为 合法括号序列，则 (A) (A) 为 合法括号序列。 若 A , B A,B 均为 合法括号序列，则 AB AB 也为 合法括号序列。 现在 Mirika 想要求出： ∑ � = 1 � ∑ � = � � � ( � [ � , � ] ) ∑ l=1 n ​ ∑ r=l n ​ f(s[l,r]) 其中 � [ � , � ] s[l,r] 表示由 � � , � � + 1 , ⋯ , � � s l ​ ,s l+1 ​ ,⋯,s r ​ 形成的连续子序列。 但是 Mirika 太菜了不会算，于是只好求助于你。

首先，我们可以考虑设计一个动态规划算法来解决这个问题。定义 $dp_{i,j}$ 表示子串 $s[i,j]$ 变为合法括号序列所需要的最小操作数。对于每个区间 $[i,j]$，我们需要找到一个位置 $k$，使得 $s[i,k]$ 和 $s[k+1,j]$ 都是合法括号序列，并且将两个合法括号序列合并成一个新的合法括号序列所需要的操作数最小。

我们可以枚举 $k$，将问题转化为求解子问题 $dp_{i,k}$ 和 $dp_{k+1,j}$，然后加上合并两个合法括号序列所需要的操作数。实现时需要特别注意插入操作，因为插入操作会扩大区间长度，即要更新 $dp_{i,j}$ 的最小值。

时间复杂度为 $O(n^3)$，可以通过本题，但需要注意一些细节的处理。

代码实现如下：