解释包络定理,给出经济学公式推导包络定理的使用
时间: 2024-05-22 11:11:08 浏览: 209
包络定理是指在多维空间中,如果有一些点集的凸包是一个闭合的多面体,那么这些点集的任何一个非凸点都可以表示为凸包上的某些点的凸组合。在经济学中,包络定理可以应用于生产力前沿分析和效率评价。
生产力前沿分析是指通过对生产要素的投入和产出的关系进行研究,找出生产力的极限和生产力前沿。生产力前沿可以用一条曲线表示,即边际生产力曲线。包络定理可以用来找出生产力前沿上的点,并且可以确定某个生产单位是否处于生产力前沿上。
假设有n个生产单位,每个单位有m个生产要素,第i个生产单位的生产要素向量为$x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{im})$,产出量为$y_i$。假设存在一个合理的生产函数$f(x)$,则生产力前沿可以表示为:
$y = f(x) = max\{y|x\in R^m_+, x_i\leq x, i=1,2,...,n\}$
其中,$R^m_+$表示m维正半轴。上述公式可以解释为:在所有生产要素的组合中,找出能够产生最大产出量的组合。
包络定理可以用来确定生产力前沿上的点。假设存在一个点$(x^*,y^*)$,它是生产力前沿上的一个点。则可以找到一个生产单位$j$,使得$x_j=x^*$,且$y_j=y^*$。如果$(x^*,y^*)$不是生产力前沿上的点,则存在一个生产单位$i$,使得$x_i\leq x^*$,$y_i>y^*$。根据包络定理,$i$点可以被表示为:
$y_i=\sum_{j=1}^{n}\lambda_jy_j$
$\sum_{j=1}^{n}\lambda_j=1$
$x_i=\sum_{j=1}^{n}\lambda_jx_j$
其中,$\lambda_j$表示生产单位$j$在$i$点的凸组合系数。由于$x_j=x^*$,$y_j=y^*$,因此:
$y_i=y^*$
$\sum_{j=1}^{n}\lambda_j=1$
$x_i=x^*$
这意味着$i$点也在生产力前沿上,与假设矛盾,因此$(x^*,y^*)$是生产力前沿上的点。