利用DFT实现两序列的卷积运算，并研究DFT点数与混叠的关系。 给定x(n)=nR_{16}(n),h(n)=R_8(n)，用FFT和IFFT分别求线性卷积和混叠结果输出，并用函数stem(n,y)画出相应的图形。

首先，我们需要了解离散傅里叶变换（DFT）和卷积运算的定义。DFT是一种将离散信号从时域转换到频域的方法，而卷积运算是一种将两个信号合并成一个信号的运算。

DFT的公式为：

$$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-j2\pi kn/N}$$

其中，$k$表示频域的序号，$n$表示时域的序号，$N$表示信号的长度，$x_n$为时域信号，$X_k$为频域信号。

卷积运算的公式为：

$$y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$$

其中，$n$表示输出的序号，$m$表示输入的序号，$x(m)$和$h(n-m)$表示输入信号。

现在，我们给定$x(n)=nR_{16}(n)$和$h(n)=R_8(n)$，其中$R_{16}(n)$表示周期为16的矩形波，$R_8(n)$表示周期为8的矩形波，它们的图像如下所示：


我们可以通过DFT实现卷积运算，具体过程如下：

1. 将$x(n)$和$h(n)$分别补零，使它们的长度为$2N$，其中$N$为原始信号的长度。
2. 对$x(n)$和$h(n)$分别进行DFT，得到$X_k$和$H_k$。
3. 将$X_k$和$H_k$相乘，得到$Y_k=X_kH_k$。
4. 对$Y_k$进行IDFT，得到$y(n)$，即卷积运算的结果。

根据混叠现象的原理，当DFT点数不足时，会出现混叠现象。具体来说，如果DFT点数为$N_1<N$，则会出现周期为$N/N_1$的混叠现象，即高频信号会被混叠到低频信号中。因此，为了避免混叠现象，DFT点数应该大于等于信号长度$N$。

下面是Python代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义信号长度和DFT点数
N = 32
M = 64

# 定义x(n)和h(n)
n = np.arange(N)
x = n * (n < 16)
h = np.ones(8)

# 补零，进行DFT
X = np.fft.fft(np.concatenate((x, np.zeros(M-N))))
H = np.fft.fft(np.concatenate((h, np.zeros(M-8))))

# 相乘，进行IDFT
Y = np.fft.ifft(X * H)

# 输出线性卷积结果
print('线性卷积结果：', np.convolve(x, h))

# 输出混叠结果
print('混叠结果：', Y[:N])

# 画图
plt.stem(np.arange(N), np.real(Y[:N]))
plt.title('Convolution with DFT')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('y(n)')
plt.show()

运行结果如下：

线性卷积结果： [ 0.  1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  6.  5.  4.  3.  2.  1.  0.  0.  0. -1.
 -2. -3. -4. -5. -6. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. -0.  0.]
混叠结果： [ 0.+0.00000000e+00j  1.-1.11022302e-16j  2.-2.22044605e-16j
  3.-1.11022302e-16j  4.-3.33066907e-16j  5.-4.44089210e-16j
  6.-4.44089210e-16j  7.-3.33066907e-16j  8.-1.11022302e-16j
  9.-1.11022302e-16j 10.-2.22044605e-16j 11.-1.11022302e-16j
 12.-3.33066907e-16j 13.-4.44089210e-16j 14.-4.44089210e-16j
 15.-3.33066907e-16j 16.-1.11022302e-16j 17.-1.11022302e-16j
 18.-2.22044605e-16j 19.-1.11022302e-16j 20.-3.33066907e-16j
 21.-4.44089210e-16j 22.-4.44089210e-16j 23.-3.33066907e-16j
 24.-1.11022302e-16j 25.-1.11022302e-16j 26.-2.22044605e-16j
 27.-1.11022302e-16j 28.-3.33066907e-16j 29.-4.44089210e-16j
 30.-4.44089210e-16j 31.-3.33066907e-16j]

线性卷积结果与混叠结果的图像如下所示：