如何确定一个函数的单调性，并给出具体例子说明其判断过程？

函数的单调性是指在给定的区间内，函数值随着自变量增加而增加（单调递增），或者随着自变量增加而减少（单调递减）。为了确定一个函数的单调性，我们需要对函数的定义域进行划分，然后利用导数或者函数差的方法来判断。

参考资源链接：[专升本高等数学：函数、极限与连续性详解](https://wenku.csdn.net/doc/2vhqfsu3m3?spm=1055.2569.3001.10343)

以函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1为例，我们首先确定它的定义域，这里由于没有限制条件，定义域为全体实数。接着我们计算其一阶导数f'(x) = 6x^2 - 6x。为了找出单调递增或递减的区间，我们需要解方程f'(x) = 0得到临界点，此例中为x = 0, 1。然后，将临界点代入到一阶导数中，判断导数的符号变化来确定函数的单调区间。

通过分析，我们可以发现：
- 当x < 0时，f'(x) > 0，因此函数在(-∞, 0)上单调递增。
- 当0 < x < 1时，f'(x) < 0，因此函数在(0, 1)上单调递减。
- 当x > 1时，f'(x) > 0，因此函数在(1, +∞)上单调递增。

因此，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在整个实数域上不是单调的，但在(-∞, 0)，(0, 1)和(1, +∞)这些区间内分别单调递增或递减。

这种分析方法是非常重要的，因为它不仅可以帮助我们确定函数的单调性，还能为求函数的最大值和最小值提供理论基础。若要更深入地掌握这一技能，推荐阅读《专升本高等数学：函数、极限与连续性详解》，其中详细讲解了函数单调性的判定方法，包括使用导数、函数差以及图像分析等多种技巧，并提供大量的实例和练习题，帮助学习者通过实战提升解题能力。

参考资源链接：[专升本高等数学：函数、极限与连续性详解](https://wenku.csdn.net/doc/2vhqfsu3m3?spm=1055.2569.3001.10343)