怎么用数值计算和符号计算两种方法求给定函数的定积分，并对结果进行比较

数值计算和符号计算是解决微积分问题的两种常用手段：

1. **数值计算**（也称为数值积分）：
- 使用数值方法，如辛普森法则、梯形法则或高斯积分规则，针对函数在有限区间上进行估算。在MATLAB中，`integral`函数就是一个例子，它适用于难以精确解析求积的复杂函数。比如计算函数 `f(x) = x^2` 在 `[0, 1]` 上的积分：

     result_num = integral(@(x) x.^2, 0, 1);

- 结果通常是一个近似值，精度受限于所选择的算法和步长。

2. **符号计算**：
- 如果函数形式简单并且存在解析解，可以使用符号计算工具如Mathematica或SymPy（Python库），它们能给出确切的积分表达式。对于上述的例子，如果函数是二次多项式，符号计算会得出积分 `∫(x^2)dx = (1/3)x^3+C`，其中 `C` 是常数项。

   from sympy import symbols, integrate

   x = symbols('x')
   int_expr = integrate(x**2, (x, 0, 1))
   exact_val = int_expr.evalf()  # 转换为浮点数值表示

对比结果：
- 符号计算结果理论上是精确的，但在实际应用中可能存在计算复杂度高的问题，特别是对于高维积分或者涉及特殊函数的情况。