数学建模 机场的出租车问题 帮我写出模型

好的，针对机场的出租车问题，可以考虑以下模型：

假设机场有 $n$ 个航站楼，每个航站楼有 $m_i$ 辆出租车可供使用，每辆出租车都需要接送乘客。现在有 $k$ 个乘客需要从机场出发，他们需要前往不同的目的地，并且每个目的地都需要不同数量的出租车。

我们需要设计一个算法来决定如何分配出租车，使得总的乘客等待时间最短。为了简化问题，我们假设每一趟出租车可以接送多个乘客，且出租车在不同航站楼之间的行驶时间相同。

基于以上假设，可以建立如下模型：

1. 定义变量：

- $x_{ij}$ 表示第 $i$ 辆出租车是否被分配到目的地 $j$，若是则 $x_{ij}=1$，否则 $x_{ij}=0$。
- $y_{ijk}$ 表示第 $i$ 辆出租车是否被分配到第 $j$ 个乘客，并将其送往目的地 $k$，若是则 $y_{ijk}=1$，否则 $y_{ijk}=0$。

2. 目标函数：

最小化总的乘客等待时间，可以表示为：

$$\min \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} \sum_{i'=1}^{n} \sum_{k'=1}^{k} t_{j,i,k'} y_{ii'k'}$$

其中 $t_{j,i,k'}$ 表示第 $i$ 辆出租车从航站楼 $i$ 出发，将第 $j$ 个乘客送往目的地 $k'$ 的时间。

3. 约束条件：

- 每辆出租车只能被分配到一个目的地：

$$\sum_{j=1}^{k} x_{ij} = 1, \quad i = 1,2,\ldots, m_i$$

- 每个目的地都必须有足够的出租车：

$$\sum_{i=1}^{m_i} x_{ij} \geq d_j, \quad j = 1,2,\ldots, k$$

其中 $d_j$ 表示第 $j$ 个目的地需要的出租车数量。

- 每个乘客必须被分配到一个出租车：

$$\sum_{i=1}^{m_i} \sum_{k=1}^{k} y_{ijk} = 1, \quad j = 1,2,\ldots, k$$

- 每辆出租车只能被分配到一对乘客和目的地：

$$\sum_{j=1}^{k} y_{ii'j} \leq x_{ij} + x_{i'j}, \quad i,i' = 1,2,\ldots, m_i, i \neq i'$$

- 如果出租车被分配到某个目的地，则必须将该目的地的所有乘客都送到：

$$\sum_{j=1}^{k} y_{ijj'} \leq x_{ij'}, \quad i = 1,2,\ldots, m_i, j' = 1,2,\ldots, k$$

- 每个乘客的目的地必须是其所在的行程中出现的目的地之一：

$$y_{ijk} = 0, \quad \forall i,j,k \text{ s.t. } j \neq k \text{ and } y_{ij'k'} = y_{i'j''k''} = 0 \text{ for all } i', i'' = 1,2,\ldots, m_i \text{ and } j', k'' = 1,2,\ldots, k$$

其中 $y_{ij'k'} = y_{i'j''k''} = 0$ 表示第 $i'$ 辆出租车不被分配到第 $j'$ 个乘客或将其送到目的地 $k''$。

通过以上模型，我们可以有效地解决机场出租车的分配问题，从而最小化总的乘客等待时间。