逆序对分治算法用递归

逆序对分治算法是一种基于归并排序的算法，用于统计一个数组中逆序对的数量。该算法采用递归的方式将数组分成两个子数组，然后对子数组进行排序并统计逆序对的数量，最后将两个子数组合并成一个有序的数组。在合并的过程中，统计逆序对的数量。

具体实现过程如下：
1. 将数组分成两个子数组，分别递归调用逆序对分治算法。
2. 对两个子数组进行排序，并统计两个子数组内部的逆序对数量。
3. 合并两个子数组，并统计跨越两个子数组的逆序对数量。
4. 返回子数组内部逆序对数量和跨越两个子数组的逆序对数量之和。

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，与归并排序的时间复杂度相同。因此，逆序对分治算法是一种高效的算法，适用于大规模数据的排序和逆序对统计。

相关问题

python分治算法逆序对

Python中的分治算法逆序对可以通过归并排序来实现。具体步骤如下：

1. 定义一个函数merge_sort，该函数接收一个列表arr作为参数。
2. 在merge_sort函数中，首先判断列表arr的长度是否小于等于1，如果是，则直接返回该列表。
3. 如果列表arr的长度大于1，则将该列表从中间分成两个子列表left和right。
4. 对左右两个子列表分别调用merge_sort函数，递归地进行排序。
5. 定义一个函数merge，该函数接收两个已排序的子列表left和right作为参数。
6. 在merge函数中，定义一个变量count，用于记录逆序对的数量。
7. 定义两个指针i和j，分别指向左右两个子列表的开头。
8. 比较左右两个子列表的第一个元素，将较小的元素添加到一个新的列表result中，并将指针向后移动一位。
9. 如果左子列表的第i个元素大于右子列表的第j个元素，则说明左子列表中第i个元素及其后面的所有元素都是逆序对，将count加上左子列表剩余元素的数量i-left_index+1，并将左子列表的第i个元素添加到result中。
10. 如果右子列表的第j个元素大于左子列表的第i个元素，则说明右子列表中第j个元素及其后面的所有元素都是逆序对，将count加上右子列表剩余元素的数量j-right_index+1，并将右子列表的第j个元素添加到result中。
11. 重复步骤8-10，直到左右两个子列表中的所有元素都被添加到result中。
12. 返回result和count。

下面是Python代码实现：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = merge_sort(arr[:mid])
    right = merge_sort(arr[mid:])
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    result = []
    count = 0
    i, j = 0, 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
            count += len(left) - i
    result += left[i:]
    result += right[j:]
    return result, count

分治算法c++逆序对

### 使用C++通过分治算法计算数组中逆序对数量

#### 什么是逆序对
在一个数组中，如果有两个索引 \(i\) 和 \(j\) 满足 \(i < j\) 并且 \( \text{arr}[i] > \text{arr}[j]\)，则称这对元素构成一个逆序对[^1]。

#### 分治算法原理
利用「归并排序」来计算逆序对是一个非常经典的方法。该方法的关键在于「合并两个有序数组」的过程，在此过程中能够一次性计算出一部分逆序对的数量。具体来说：

- **分解阶段**：将原始数组不断分割成更小的子数组直到每个子数组只含有单个元素。
- **合并阶段**：当重新组合这些已排序的小数组时，每当右边较小的元素被放置到最终位置前，意味着左边剩余未处理的所有元素都与当前右半边元素形成新的逆序对[^2]。

这种方法的时间复杂度为 O(n log n)[^3]。

#### C++代码实现
下面给出完整的基于上述思路的C++程序用于计算给定整型向量内的全部逆序对数目:

#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        vector<int> tmp(nums.size());
        return mergeSortCounting(nums, tmp, 0, nums.size() - 1);
    }

private:
    long mergeSortCounting(vector<int>& nums, vector<int>& tmp, int left, int right){
        if (left >= right) return 0;
        
        int mid = left + (right - left)/2;
        long cnt = mergeSortCounting(nums, tmp, left, mid) + mergeSortCounting(nums, tmp, mid+1, right);
        int i = left, j = mid + 1, k = left;
        while(i <= mid && j <= right){
            if(nums[i] <= nums[j]){
                tmp[k++] = nums[i++];
            }
            else{
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnt += mid - i + 1; // 记录跨越两部分形成的逆序对
            }
        }
        while(i<=mid) tmp[k++]=nums[i++];
        while(j<=right) tmp[k++]=nums[j++];
        copy(tmp.begin()+left,tmp.begin()+right+1,nums.begin()+left);

        return cnt;
    }
};

这段代码实现了归并排序的同时也完成了逆序对计数的任务。`mergeSortCounting()` 函数负责递归调用自身来进行拆分操作，并在每次合并时更新总的逆序对数量[^4]。