卡尔曼滤波算法原理详解

### 卡尔曼滤波算法原理详解

#### 定义与背景
卡尔曼滤波是一种高效的递归滤波器，旨在处理动态系统的状态估计问题。该方法能够在存在噪声的情况下，基于一系列不完整的测量数据来推断系统的真实状态[^1]。

#### 工作机制概述
卡尔曼滤波的核心在于利用两个阶段的过程来进行预测和更新：

- **预测步**：根据上一时刻的状态以及过程模型对未来状态做出预估；
- **更新步**：当新的观测到来时，结合当前的预测结果调整对真实状态的理解；

这种迭代式的计算允许卡尔曼滤波有效地跟踪随时间变化的目标位置或其他属性，并且可以最小化误差的影响。

#### 数学表达式
具体来说，在每一个时间点\( t \)，卡尔曼滤波执行如下操作:

- 预测方程：
\[ \hat{x}_{t|t-1} = A\hat{x}_{t-1|t-1} + Bu_t \]
其中 \(A\) 是状态转移矩阵, \(B\) 表示输入影响系数向量, 而 \(u_t\) 则代表外部控制信号.

- 测量方程：
\[ z_t = H\hat{x}_{t|t-1} + v_t \]
这里 \(H\) 称为观察矩阵, 描述了如何从内部状态映射到可被传感器捕捉的数据; \(v_t\) 为测量噪音.

接着就是关键部分—卡门增益(Kalman Gain) 的计算:
\[ K_t=\frac{P_{t|t-1}H^T}{HP_{t|t-1}H^T+R} \]

最后完成状态修正:
\[ \hat{x}_{t|t}= \hat{x}_{t|t-1}+K_t(z_t-H\hat{x}_{t|t-1}) \]

以上公式中的协方差矩阵 \( P \), 反应的是不确定性程度. 初始化之后会在每一步都随着新信息的到来不断优化调整[^2].

import numpy as np

def kalman_filter(x_est_prev, P_est_prev, u, z, A, B, H, Q, R):
    """
    实现一次标准卡尔曼滤波循环
    
    参数:
        x_est_prev (numpy array): 上次估计的状态向量
        P_est_prev (numpy matrix): 上次估计的误差协方差矩阵
        ...
        
    返回值:
        tuple: 新一轮过滤后的状态估计及其对应的误差协方差.
    """

    # Prediction step
    x_pred = A @ x_est_prev + B @ u
    P_pred = A @ P_est_prev @ A.T + Q 

    # Update step
    S = H @ P_pred @ H.T + R
    K = P_pred @ H.T / S
    y_residual = z - H @ x_pred
    x_est_new = x_pred + K * y_residual
    I = np.eye(len(P_pred))
    P_est_new = (I - K @ H) @ P_pred

    return x_est_new, P_est_new