如何应用最优化方法设计一个矩形油箱，使得在给定的外部面积限制下，油箱的容量最大化？请详细描述数学模型的构建和求解过程。

要设计一个矩形油箱以最大化容量，首先需要构建一个数学模型来描述问题。油箱的外部面积S是已知的，设长、宽和高分别为x、y、z，则外部表面积为2(xy + xz + yz) = S。由于油箱是无盖的，我们不需要考虑顶部面积，因此容量V可以表示为xyz。目标是在S给定的情况下最大化V。

参考资源链接：[郭科-陈聆-魏友华《最优化方法及其应用》课后习题详解与三维优化问题](https://wenku.csdn.net/doc/1b0xrwyt9m?spm=1055.2569.3001.10343)

在进行最优化设计之前，先要确定问题的约束条件。这里我们有两个约束：一个是外部面积S，另一个是变量x、y、z必须为正值。将这两个条件引入，得到约束条件：
\[
\begin{cases}
2(xy + xz + yz) = S \\
x, y, z > 0
\end{cases}
\]

假设我们已经知道外部面积S的值，可以使用拉格朗日乘数法来解决这个问题。定义拉格朗日函数L(x, y, z, \lambda)：
\[
L(x, y, z, \lambda) = xyz - \lambda [2(xy + xz + yz) - S]
\]
对x、y、z以及拉格朗日乘数\lambda求偏导数，并令其等于零，得到以下方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = yz - 2\lambda(y + z) = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = xz - 2\lambda(x + z) = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial z} = xy - 2\lambda(x + y) = 0 \\
2(xy + xz + yz) - S = 0
\end{cases}
\]
解这个方程组可以得到x、y、z和\lambda的值。但在实际应用中，这类问题往往更适合使用数值方法来求解，比如使用单纯形法或者梯度下降法等算法。

通过上述方法，我们可以得到使得油箱容量最大的尺寸。实践中，也可以使用计算机软件（如MATLAB、Mathematica等）来辅助求解这类复杂的最优化问题。

为了更好地理解这一最优化问题的求解过程，建议参阅《郭科-陈聆-魏友华《最优化方法及其应用》课后习题详解与三维优化问题》，这份资料不仅涵盖了理论知识，还提供了相关的习题解答和实际案例分析，是深入学习最优化方法及其应用的宝贵资源。

参考资源链接：[郭科-陈聆-魏友华《最优化方法及其应用》课后习题详解与三维优化问题](https://wenku.csdn.net/doc/1b0xrwyt9m?spm=1055.2569.3001.10343)