如何在C++中定义并使用一个仿射函数（也称为操作符重载函数）？

在C++中，可以使用运算符重载（operator overloading）来定义一个仿射函数，也就是自定义某个运算符的行为。对于线性代数中的仿射变换，我们通常会重载`+`和`*`运算符。这里是一个简单的例子，假设我们有一个仿射变换矩阵类`AffineTransformation`：

class AffineTransformation {
private:
    std::vector<std::vector<double>> matrix; // 代表变换矩阵

public:
    // 初始化一个单位矩阵
    AffineTransformation() : matrix(3, std::vector<double>(3, 1)) {}

    // 运算符重载：加法
    AffineTransformation operator+(const AffineTransformation& other) const {
        AffineTransformation result = *this;
        for (size_t i = 0; i < 3; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < 3; ++j) {
                result.matrix[i][j] += other.matrix[i][j];
            }
        }
        return result;
    }

    // 运算符重载：点乘（用于缩放）
    AffineTransformation operator*(double scalar) const {
        AffineTransformation result;
        result.matrix = matrix;
        for (auto& row : result.matrix)
            for (auto& elem : row)
                elem *= scalar;
        return result;
    }

    // 可视化方法，方便打印
    void print() const {
        for (const auto& row : matrix)
            for (const auto& elem : row)
                std::cout << elem << " ";
        std::cout << '\n';
    }
};

然后你可以这样使用这个仿射变换：

int main() {
    AffineTransformation t1(AffineTransformation::Identity());
    t1.print();  // 输出单位矩阵

    t1 = t1 + AffineTransformation({1, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 3});  // 应该相当于左乘变换矩阵
    t1.print();

    t1 = 2 * t1;  // 应该相当于右乘以2
    t1.print();
    
    return 0;
}