fir滤波器窗函数法

### FIR滤波器窗函数设计法概述

窗函数设计法是一种用于FIR滤波器设计的重要技术。该方法基于理想频率响应特性，通过乘以一个有限长度的窗函数来截取无限冲激响应的理想序列，从而获得实际可用的有限长冲激响应[^1]。

#### 理论基础

理想的线性相位FIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应\(h(n)\)，这在物理上不可实现。为了使这种理想化模型适用于实际情况，通常采用窗函数将其转换成有限长的形式。具体来说，在频域中定义所需的目标传输函数\(H_d(e^{j\omega})\)之后，计算对应的逆傅里叶变换得到连续时间下的\(h(t)\)[^2]。然而，由于计算机只能处理离散信号，因此需要对这个连续的时间函数进行采样并应用合适的窗函数w(n)：

\[ h[n]=IDTFT[H_{d}(e^{j\omega })]\cdot w[n], \]

其中\(n=0,1,\ldots,N-1\)表示样本索引；N代表所选窗函数宽度内的总点数。

#### 设计流程

对于给定规格参数（如截止频率），可以按照如下方式构建所需的滤波器系数向量b[]:

1. 计算理想低通/高通/带阻等类型的传递函数；
2. 对其执行反离散傅立叶变换(DFT^-1)获取理论上的冲击响应；
3. 应用选定的窗函数调整这些值使之适合于特定的应用场景；
4. 归一化最终的结果以便满足幅度条件的要求。

#### 实际案例分析

下面给出一段MATLAB代码作为例子展示如何利用汉明窗创建简单的低通FIR数字滤波器:

% 参数设定
Fs = 200; % 采样率(Hz)
Fc = 30;  % 切比雪夫频率(Hz)

% 创建理想矩形LPF原型
hd = firpm(64,[0 Fc/(Fs/2)], [1 0]);

% 使用hamming window平滑过渡边缘效应
bw = hamming(length(hd));

% 得到实际使用的滤波器系数
b = hd .* bw';

fvtool(b); % 显示结果图形界面工具

这段程序首先指定了系统的采样速率以及目标截止频率，接着调用了`firpm()`命令生成了一个阶次为64的理想型低通信号路径模板。随后引入了Hamming Window以减少吉布斯现象带来的振荡影响，并将两者相乘得出最后可操作性的滤波权重数组。最后一行则借助内置可视化辅助软件包展示了所得成果的效果图。