高阶动态模态分解理论

高阶动态模态分解（Higher-Order Dynamic Mode Decomposition，HODMD）是一种用于从高维时空数据中提取动态模态的方法。它是对标准动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition，DMD）的改进。

HODMD基于张量分解和矩阵分解的思想，它的理论基础可以概括如下：

1. 高维数据构建：假设我们有一个高维时空数据矩阵X，其中每一列表示一个时间步的观测向量。我们可以将X分解为一个低秩张量的近似表示，即X ≈ G ×_1 U ×_2 V ×_3 W，其中G是低秩核张量，U、V、W是对应于三个维度的模态矩阵。

2. 动态模态提取：通过对张量G进行模态分解，可以得到一组模态和对应的时间动力学系数。这些模态反映了系统的特征，而时间动力学系数则描述了每个模态随时间演化的规律。

3. 非线性和多项式模态提取：HODMD能够处理非线性和多项式动力学系统。通过引入高阶矩阵和张量分解的方法，HODMD能够捕捉系统中的非线性和多项式模态。

4. 正则化和噪声鲁棒性：HODMD通过使用正则化技术，可以减小噪声对模态的影响，提高模态的准确性和稳定性。它使用低秩张量近似来提取信号中的主要结构。

总的来说，HODMD通过张量分解和矩阵分解的方法，能够从高维时空数据中提取出动态模态，并能够处理非线性和多项式动力学系统。它具有较好的噪声鲁棒性，能够准确地捕捉系统的特征和动力学行为。这使得HODMD在信号处理、系统建模和预测等领域具有广泛的应用前景。