微分中值定理证明不等式
时间: 2023-07-29 15:12:55 浏览: 56
微分中值定理是微积分中的重要定理之一,它用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。定理的表述如下:
设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 内可导。那么存在一个点 c ∈ (a, b),使得
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)
这个等式表明,在函数 f(x) 在 [a, b] 内可导的条件下,至少存在一个点 c,在该点处的瞬时变化率等于函数在整个闭区间上的平均变化率。
现在我们来证明微分中值定理对应的不等式形式:
设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 内可导。那么存在一个点 c ∈ (a, b),使得
f'(c) ≤ (f(b) - f(a))/(b - a)
证明思路如下:
根据微分中值定理,我们已经知道存在一个点 c ∈ (a, b),使得 f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。那么我们只需要证明 f'(c) ≤ (f(b) - f(a))/(b - a) 即可。
假设存在某个点 d ∈ (a, b),使得 f'(d) > (f(b) - f(a))/(b - a)。由于 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,根据闭区间连续函数的最大最小值定理,存在一个点 p ∈ [a, b],使得 f(p) 达到最大值。那么对于 p 点附近的任意点 q ∈ (a, b),我们有:
(f(q) - f(p))/(q - p) > (f(b) - f(a))/(b - a)
因为 q 可以无限接近 p,所以当 q 趋近于 p 时,左边的表达式趋近于 f'(p),右边的表达式趋近于 (f(b) - f(a))/(b - a)。即:
f'(p) ≥ (f(b) - f(a))/(b - a)
这与存在点 c 使得 f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 相矛盾。
因此,假设不成立,即对于任意的 d ∈ (a, b),都有 f'(d) ≤ (f(b) - f(a))/(b - a)。证毕。
这就是微分中值定理对应的不等式形式的证明。希望能对你有所帮助!