设limxn=A.如果存在N>0,当n>N时,xn>=0,则A>=0。为什么这个保号性一定要带=?
时间: 2024-04-12 19:33:39 浏览: 28
非常抱歉,我的回答中的保号性写错了,不应该带等号。感谢你的指正。下面是修正后的推导:
设 lim(n→∞) xn = A。如果存在一个正数 N,当 n > N 时,所有的 xn 都大于等于零,则 A 大于等于零。现在我们来推导这个结论。
根据极限的定义,对于任意给定的正数 ε,存在一个正整数 N0,当 n > N0 时,有 |xn - A| < ε。
由于我们已知当 n > N 时,所有的 xn 都大于等于零,即 xn ≥ 0。
我们可以选择一个特定的 ε,即 ε = A/2。由于 A 大于等于零,所以 A/2 大于等于零。
根据极限的定义,存在一个正整数 N1,当 n > N1 时,有 |xn - A| < A/2。
现在我们选择一个更大的正整数 N,即 N = max(N0, N1)。对于任意大于 N 的正整数 n,我们有:
|xn - A| < A/2 (由极限的定义)
这等价于:
-A/2 < xn - A < A/2
重新整理不等式:
A/2 < A - xn < 3A/2
由于我们已知 xn ≥ 0,所以我们可以进一步得出:
A/2 < A (因为 A - xn < 3A/2)
由此可得 A 大于等于零。
综上所述,如果存在一个正数 N,当 n > N 时,所有的 xn 都大于等于零,则 A 大于等于零。
相关问题
设limxn=A.如果存在N>0,当n>N时,xn>0,则A>=0。请给出该结论的推导过程
当我们设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$,我们要证明如果存在一个正数 $N$,当 $n > N$ 时,所有的 $x_n$ 都大于零,则 $A \geq 0$。
根据极限的定义,对于任意的正数 $\epsilon$,存在一个正整数 $N_0$,当 $n > N_0$ 时,有 $|x_n - A| < \epsilon$。
由于我们已知当 $n > N$ 时,所有的 $x_n$ 都大于零,即 $x_n > 0$。
我们可以选择一个特定的 $\epsilon$,即 $\epsilon = \frac{A}{2}$。由于 $A \geq 0$,所以 $\frac{A}{2} > 0$。
根据极限的定义,存在一个正整数 $N_1$,当 $n > N_1$ 时,有 $|x_n - A| < \frac{A}{2}$。
现在我们选取一个更大的正整数 $N$,即 $N = \max(N_0, N_1)$。对于任意大于 $N$ 的正整数 $n$,我们有:
$|x_n - A| < \frac{A}{2}$ (由极限的定义)
这等价于:
$-\frac{A}{2} < x_n - A < \frac{A}{2}$
重新整理不等式:
$\frac{A}{2} < A - x_n < \frac{3A}{2}$
由于我们已知 $x_n > 0$,所以我们可以进一步得出:
$\frac{A}{2} < A$ (因为 $A - x_n < \frac{3A}{2}$)
由此可得 $0 < \frac{A}{2}$,即 $A > 0$。
综上所述,如果存在一个正数 $N$,当 $n > N$ 时,所有的 $x_n$ 都大于零,则 $A \geq 0$。
设x1>0,Xn+1= (2Xn+(xn*xn)/1)/3,n=1,2,k,证明limXn存在,并求极限limXn
首先证明数列{Xn}单调递减,即证明Xn+1≤Xn。
由题目可知,
Xn+1 = (2Xn + xn²) / 3
= (2/3)Xn + (1/3)(xn²)
≤ (2/3)Xn + (1/3)Xn = Xn
因此,数列{Xn}单调递减。
又因为Xn>0,所以{Xn}下界为0,即{Xn}有下确界。
设limXn=L,则L≥0。
由单调有界原理可知,{Xn}收敛,即存在极限L。
当n趋向无穷大时,有
Xn+1 = (2Xn + xn²) / 3
L = (2L + L²) / 3
L² - L = 0
L(L - 1) = 0
因此,极限L=0或1。
但由L≥0可知,极限L只能是0。
因此,limXn=0。
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