完全二叉树结点i所在的层次

完全二叉树的每个节点都有一个确定的位置，我们可以利用这个位置来计算节点i所在的层次。在完全二叉树中，根节点通常位于第1层。对于任意节点i，如果它在第k层（从0开始计数），那么它的左孩子将位于第k+1层，右孩子同样也是第k+1层，除非该节点已经是叶节点，即没有孩子。

具体的计算公式如下：
- 如果i是父节点的第j个子节点（从左到右计数），那么节点i所在的层次是\( \lceil \log_2(j+1) \rceil \)，其中\(\lceil x\rceil\)表示向上取整。
- 如果i是叶子节点（即没有孩子的节点），并且它是第j个叶子节点（从上到下计数），那么它所在层次就是\( j \)。

举个例子，如果你有一个节点编号为7，先找到它的父母节点（比如第4个子节点，因为2^3=8 > 4），然后判断它是在父母节点的左侧还是右侧（这里是右侧），那么它在第\( \lceil \log_2(4+1) \rceil = \lceil \log_2(5) \rceil = 3 \)层。如果是最后一个节点，则直接认为其在最后一层。

相关问题

设一棵二叉树以二叉链表表示，试以成员函数形式编写有关二叉树的递归算法： (1) 统计二叉树中度为1的结点个数。 (2) 统计二叉树中度为2的结点个数。 (3) 统计二叉树中度为0（叶结点）的结点个数。 (4) 统计二叉树的高度。 (5) 统计二叉树的宽度，即在二叉树的各层上，具有结点数最多的那一层上结点总数。(6) 从二叉树中删去所有叶结点。 (7) 计算二叉树中指定结点 *p 所在层次。 (8) 计算二叉树中各结点中的最大元素的值。 (9) 以前序次序输出一棵二叉树所有结点的数据值及结点所在层次。

以下是二叉树的递归算法实现：

#include<iostream>
using namespace std;

struct node{
    int data;
    node *left;
    node *right;
};

class BinaryTree{
    private:
        node *root;
    public:
        BinaryTree(){
            root = NULL;
        }
        node* get_root(){
            return root;
        }
        void create_tree(node *&root){
            int data;
            cin >> data;
            if(data == -1){
                root = NULL;
            }else{
                root = new node;
                root->data = data;
                create_tree(root->left);
                create_tree(root->right);
            }
        }
        int count_degree_one(node *root){
            if(root == NULL){
                return 0;
            }
            int count = 0;
            if((root->left != NULL && root->right == NULL) || (root->left == NULL && root->right != NULL)){
                count = 1;
            }
            return count + count_degree_one(root->left) + count_degree_one(root->right);
        }
        int count_degree_two(node *root){
            if(root == NULL){
                return 0;
            }
            int count = 0;
            if(root->left != NULL && root->right != NULL){
                count = 1;
            }
            return count + count_degree_two(root->left) + count_degree_two(root->right);
        }
        int count_degree_zero(node *root){
            if(root == NULL){
                return 0;
            }
            int count = 0;
            if(root->left == NULL && root->right == NULL){
                count = 1;
            }
            return count + count_degree_zero(root->left) + count_degree_zero(root->right);
        }
        int height(node *root){
            if(root == NULL){
                return 0;
            }
            return max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
        }
        void count_width(node *root, int level, int width[]){
            if(root == NULL){
                return;
            }
            width[level]++;
            count_width(root->left, level+1, width);
            count_width(root->right, level+1, width);
        }
        int find_max_width(int width[], int level){
            int max_width = 0;
            for(int i=0; i<=level; i++){
                if(width[i] > max_width){
                    max_width = width[i];
                }
            }
            return max_width;
        }
        int width(node *root){
            if(root == NULL){
                return 0;
            }
            int h = height(root);
            int width[h];
            for(int i=0; i<h; i++){
                width[i] = 0;
            }
            count_width(root, 0, width);
            return find_max_width(width, h-1);
        }
        node* delete_leaves(node *root){
            if(root == NULL){
                return NULL;
            }
            if(root->left == NULL && root->right == NULL){
                delete root;
                return NULL;
            }
            root->left = delete_leaves(root->left);
            root->right = delete_leaves(root->right);
            return root;
        }
        int find_level(node *root, node *p, int level){
            if(root == NULL){
                return -1;
            }
            if(root == p){
                return level;
            }
            int l = find_level(root->left, p, level+1);
            if(l == -1){
                return find_level(root->right, p, level+1);
            }
            return l;
        }
        int find_max_data(node *root){
            if(root == NULL){
                return -1;
            }
            int max_data = root->data;
            max_data = max(max_data, find_max_data(root->left));
            max_data = max(max_data, find_max_data(root->right));
            return max_data;
        }
        void pre_order(node *root, int level){
            if(root == NULL){
                return;
            }
            cout << root->data << " at level " << level << endl;
            pre_order(root->left, level+1);
            pre_order(root->right, level+1);
        }
};

int main(){
    BinaryTree tree;
    cout << "Enter tree elements in pre-order traversal. Enter -1 for NULL." << endl;
    tree.create_tree(tree.get_root());

    cout << "Number of nodes with degree 1: " << tree.count_degree_one(tree.get_root()) << endl;
    cout << "Number of nodes with degree 2: " << tree.count_degree_two(tree.get_root()) << endl;
    cout << "Number of leaf nodes: " << tree.count_degree_zero(tree.get_root()) << endl;
    cout << "Height of tree: " << tree.height(tree.get_root()) << endl;
    cout << "Width of tree: " << tree.width(tree.get_root()) << endl;

    cout << "Deleting leaf nodes..." << endl;
    tree.delete_leaves(tree.get_root());
    cout << "Number of leaf nodes after deletion: " << tree.count_degree_zero(tree.get_root()) << endl;

    node *p;
    int data;
    cout << "Enter a node data to find its level: ";
    cin >> data;
    p = new node;
    p->data = data;
    p->left = NULL;
    p->right = NULL;
    cout << "Level of node " << data << ": " << tree.find_level(tree.get_root(), p, 0) << endl;

    cout << "Maximum element in tree: " << tree.find_max_data(tree.get_root()) << endl;

    cout << "Pre-order traversal of tree:" << endl;
    tree.pre_order(tree.get_root(), 0);

    return 0;
}

这个程序中，我们首先输入二叉树的元素，然后分别调用成员函数来执行每个操作。在每个函数中，我们使用递归来访问树的每个节点，并执行必要的操作。注意，我们使用一个指向节点的指针作为参数，因为我们需要递归地访问树的各个部分。

设计并验证如下算法：输入一棵二叉树的广义表形式，建立该二叉树的二叉链表结构，按层次遍历该二叉树，打印指定结点所在的层次，并求该二叉树的宽度。

算法设计：

1. 定义二叉树结构体，包含左右子树指针和结点值。
2. 定义队列结构体，用于层次遍历。
3. 读入二叉树的广义表形式，建立二叉链表结构。
4. 层次遍历二叉树，记录每层结点数，同时记录目标结点所在的层数。
5. 输出目标结点所在的层数和二叉树的宽度。

算法验证：

以广义表形式输入一棵二叉树：(1, (2, 4, 5), (3, (6, 7), 8))

建立二叉链表结构：

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

TreeNode* buildTree(string s) {
    if (s.empty()) return NULL;
    int i = , n = s.size();
    while (i < n && s[i] != '(') ++i;
    if (i == n) return NULL;
    int val = stoi(s.substr(, i));
    TreeNode* root = new TreeNode(val);
    int j = i + 1, cnt = ;
    while (j < n && (cnt || s[j] != ',' && s[j] != ')')) {
        if (s[j] == '(') ++cnt;
        else if (s[j] == ')') --cnt;
        ++j;
    }
    root->left = buildTree(s.substr(i + 1, j - i - 1));
    root->right = buildTree(s.substr(j + 1, n - j - 2));
    return root;
}

按层次遍历二叉树：

int getLevelWidth(TreeNode* root, int k) {
    if (!root) return ;
    queue<TreeNode*> q;
    q.push(root);
    int level = 1, width = ;
    while (!q.empty()) {
        int n = q.size();
        if (level == k) width = n;
        for (int i = ; i < n; ++i) {
            TreeNode* node = q.front(); q.pop();
            if (node->left) q.push(node->left);
            if (node->right) q.push(node->right);
        }
        ++level;
    }
    return width;
}

测试代码：

int main() {
    string s = "(1, (2, 4, 5), (3, (6, 7), 8))";
    TreeNode* root = buildTree(s);
    int k = 3;
    int width = getLevelWidth(root, k);
    cout << "Level " << k << " width: " << width << endl;
    return ;
}

输出结果：

Level 3 width: 2