机器学习维特比算法手算

### 维特比算法在机器学习中的手动计算

维特比算法是一种用于隐马尔可夫模型(HMM)的动态规划算法，主要用于找到最有可能产生特定观测序列的状态路径。该算法广泛应用于语音识别、自然语言处理等领域。

对于给定的HMM参数——状态转移概率矩阵A、发射概率矩阵B以及初始状态分布π，在面对具体的观测序列O时，可以通过以下方式手动计算最优状态序列Q：

#### 初始化阶段
设T为观测序列长度；N为可能隐藏状态的数量。定义δ(t,i)表示时刻t处于第i个状态的最大概率值，ψ(t,i)记录使δ(t,i)达到最大的前一时刻的状态编号。

初始化第一个时间步的概率：
\[ \delta(1, i) = \pi_i b_{i}(o_1),\quad 1 \leqslant i \leqslant N \]
其中\(b_{i}(o_t)\)是从状态i发出观测\(o_t\)的概率[^1]。

import numpy as np

def initialize_viterbi(pi, B, O):
    T = len(O)
    N = len(pi)

    delta = np.zeros((T, N))
    psi = np.zeros((T, N))

    # Initialize first time step probabilities
    for i in range(N):
        delta[0][i] = pi[i] * B[i][O[0]]
    
    return delta, psi

#### 迭代过程
从第二个时间步开始逐层递推至最后一个时间步：
\[ \begin{aligned}
&\delta(t,j)=\max _{1 \leqslant i \leqslant N}\left[\delta(t-1, i) a_{ij} b_j(o_t)\right], \\
&\psi(t, j)=\underset{i}{\arg \max }\left[\delta(t-1, i) a_{ij}\right],
\end{aligned} \]
这里\(a_{ij}\)代表由状态i转移到j的概率[^2]。

def iterate_viterbi(A, B, O, delta, psi):
    T = len(O)
    N = A.shape[0]

    for t in range(1, T):
        for j in range(N):
            max_prob = -np.inf
            arg_max = None
            
            for i in range(N):
                prob = delta[t-1][i]*A[i][j]*B[j][O[t]]

                if prob > max_prob:
                    max_prob = prob
                    arg_max = i
                    
            delta[t][j] = max_prob
            psi[t][j] = arg_max
    
    return delta, psi

#### 路径回溯
当完成所有时间步之后，寻找最终时刻具有最高概率的状态，并沿着之前保存的最佳前驱节点反向追踪得到完整的最佳路径。

最后一步选择最大可能性对应的状态作为结束点：
\[ q_T=\underset{j}{\arg \max } [\delta(T, j)] . \]
接着按照下述规则逆序构建整个路径：
\[ q_t=\psi(q_{t+1}, t+1). \]

def traceback(delta, psi):
    T, N = delta.shape
    path = []

    last_state = int(np.argmax(delta[-1]))
    path.append(last_state)

    for t in reversed(range(1,T)):
        prev_state = int(psi[t][last_state])
        path.insert(0,prev_state)
        last_state = prev_state
        
    return path

综上所述，上述Python代码片段展示了如何实现维特比算法的手动计算逻辑。需要注意的是实际应用中还需要考虑数值稳定性等问题，比如使用对数空间运算防止浮点溢出等优化措施[^3]。