有限元方法及matlab编程随书程序

时间: 2023-10-26 19:03:36 浏览: 27
有限元方法是一种数值计算方法,用于解决连续介质力学中的各种问题,例如结构、热、电、流体等问题。其基本思想是将连续介质离散化为有限个单元,使用简单的方程来描述每个单元的行为,通过求解这些方程,得到整个系统的近似解。 有限元方法的步骤包括建立数学模型、离散化、确定单元自由度、确定单元刚度矩阵和载荷向量、组装总体刚度矩阵和载荷向量、边界条件处理、求解方程组、后处理和结果分析等。 Matlab是一种功能强大的科学计算软件,可以用于求解各种数学问题。在有限元方法中,可以使用Matlab进行编程来实现各个步骤。例如,可以编写程序来生成有限元网格并计算单元刚度矩阵和载荷向量,然后使用程序将它们组装成总体刚度矩阵和载荷向量。接下来,可以使用Matlab内置的线性方程求解函数来解决方程组,并使用后处理技术将结果可视化或导出。 Matlab提供了丰富的工具箱和函数,可以方便地进行矩阵运算、求解方程组、绘图等操作,加速了有限元程序的开发和计算过程。 总的来说,有限元方法和Matlab编程是一对很好的组合,能够帮助工程师和科学家快速而准确地解决各种连续介质力学问题。
相关问题

有限元方法与matlab程序设计

有限元方法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法,用于求解边界值问题、微分方程和偏微分方程。它将复杂的连续问题转化为有限个简单的子问题,通过解这些子问题的数值解来逼近原始问题的解。有限元方法适用于各种工程和科学领域,如结构分析、热传导、流体力学等。 在使用有限元方法求解问题时,通常需要编写相应的计算程序来实现数值计算。Matlab是一种适合科学与工程计算的高级语言和交互式环境,它提供了丰富的数学函数和工具箱,可以方便地对有限元方法进行程序设计和数值计算。 在使用Matlab进行有限元方法的程序设计时,可以通过编写计算节点坐标、单元刚度矩阵、载荷向量等相关代码来建立有限元模型。然后通过Matlab内置的线性代数函数和求解器来求解线性方程组,得到数值解,并进行后处理和结果分析。 除了自行编写计算程序外,Matlab还提供了一些专门用于有限元方法的工具箱,如Partial Differential Equation Toolbox和Finite Element Analysis Toolbox,它们提供了更多的函数和工具来简化有限元方法的程序设计和数值计算过程。 总而言之,有限元方法与Matlab程序设计是相辅相成的。有限元方法提供了理论基础和数值算法,而Matlab提供了丰富的数学函数和工具箱,使得有限元方法的程序设计和数值计算变得更加高效和便捷。

偏微分方程的有限元方法的matlab程序

偏微分方程的有限元方法在matlab中的实现需要以下几个步骤: 1. 离散化:将偏微分方程转化为离散的有限元方程。 2. 组装刚度矩阵和负载向量:根据离散化后的有限元方程,组装刚度矩阵和负载向量。 3. 边界条件处理:将边界条件应用于刚度矩阵和负载向量。 4. 求解:利用求解器求解离散后的有限元方程。 以下是一个简单的matlab程序,演示了如何实现偏微分方程的有限元方法: ```matlab % 定义有限元网格和基函数 mesh = createMesh(xmin, xmax, numElements); basis = createBasis(mesh); % 定义偏微分方程的系数和右侧项 a = 1; f = @(x) sin(x); % 组装刚度矩阵和负载向量 K = zeros(mesh.numNodes, mesh.numNodes); F = zeros(mesh.numNodes, 1); for i = 1:mesh.numElements nodes = mesh.elements(i, :); [A, b] = assembleLocal(a, f, basis, nodes); K(nodes, nodes) = K(nodes, nodes) + A; F(nodes) = F(nodes) + b; end % 处理边界条件 [K, F] = applyBoundaryConditions(K, F, mesh, basis, xmin, xmax); % 求解 u = K \ F; % 可视化结果 plot(mesh.nodes, u); ``` 需要自己实现的函数包括: - createMesh:根据问题的几何形状和网格大小生成有限元网格。 - createBasis:生成有限元基函数,用于描述解在每个单元内的变化。 - assembleLocal:在单个单元上组装刚度矩阵和负载向量。 - applyBoundaryConditions:将边界条件应用到刚度矩阵和负载向量上。 这是一个简单的例子,更复杂的问题可能需要更多的处理和优化。

相关推荐

### 回答1: 使用MATLAB编写有限元程序的书籍有很多,以下是几本比较好的推荐: 1.《有限元分析与MATLAB编程》:作者杨洪武,该书介绍了有限元方法的基本原理和MATLAB编程的基本知识,通过具体的例子帮助读者理解和掌握有限元分析的过程和步骤。 2.《MATLAB有限元分析及工程应用》:作者唐冬梅,该书详细介绍了MATLAB在有限元分析中的应用,包括有限元方法的基本理论、计算流程和MATLAB编程技巧,具有很强的实用性。 3.《用MATLAB编写有限元解析软件》:作者郭勤,该书从理论到实践,详细介绍了MATLAB编写有限元解析软件的全过程,通过具体的案例和实例,让读者能够深入了解有限元分析的相关知识,掌握MATLAB在有限元分析中的应用。 4.《MATLAB有限元分析与工程应用》:作者曲愚青,该书系统地介绍了MATLAB在有限元分析中的应用,包括有限元方法的基本原理和相关算法,还提供了大量的例题和工程应用实例,适合初学者和工程技术人员参考和使用。 以上是根据作者、内容和实用性来推荐的几本较好的使用MATLAB编写有限元程序的书籍,读者可以根据自己的需求和水平选择适合自己的一本书进行学习。 ### 回答2: 关于使用MATLAB编写有限元程序的好书有很多选择,以下是一些较好的参考书籍: 1.《有限元法基础与MATLAB编程》(作者:李林,出版社:中国电力出版社)这本书从有限元基础知识出发,详细介绍了有限元法的理论和方法,以及如何使用MATLAB编写有限元程序,对于初学者来说非常友好。 2.《MATLAB和有限元方法的应用》(作者:李旭,出版社:机械工业出版社)该书通过实例的方式讲解了有限元方法的原理和相关数学知识,并详细介绍了如何使用MATLAB进行有限元分析,适合已有一些MATLAB基础的人阅读。 3.《有限元法及其MATLAB编程》(作者:罗铁,出版社:机械工业出版社)这本书由浅入深地介绍了有限元法的基本原理,以及如何使用MATLAB编写有限元程序,并在书中提供了一些实例进行实践操作,对初学者来说非常适用。 4.《用MATLAB学有限元分析》(作者:杨建中,出版社:机械工业出版社)这本书通过实例讲解了有限元分析的基本原理和应用方法,并详细介绍了如何使用MATLAB编写有限元程序。同时,书中提供了一些MATLAB的工具箱和函数库的使用技巧。 以上仅为部分较好的MATLAB编写有限元程序的书籍推荐,根据个人的编程水平和学习需求,可以选择适合自己的参考书进行学习和实践。同时,可以通过网络搜索、向学校或从业者咨询,了解更多更全面的书籍推荐。 ### 回答3: 关于如何用MATLAB编写有限元程序的书籍,我推荐以下几本: 1.《MATLAB有限元分析与编程》(王健敏著):本书深入浅出地介绍了有限元原理和常见的有限元方法,并给出了用MATLAB编写有限元程序的实际案例。书中以清晰的逻辑和易懂的语言,帮助读者理解有限元方法的原理和应用,同时提供了一些编程技巧和实践经验。 2.《有限元分析基础与MATLAB程序设计》(金勇等著):本书从基本的有限元理论开始,逐步介绍了有限元方法的相关知识,并通过一系列的MATLAB编程实例,引导读者掌握有限元分析的程序设计技巧。书中还提供了大量的示例代码和习题,可供读者进行实践和巩固所学知识。 3.《用Matlab编写有限元分析程序》(刘士良著):本书从有限元方法的基本原理出发,详细介绍了用MATLAB编写有限元程序的步骤和技巧。各章节以实例为主,结合理论知识和实际问题,帮助读者逐步掌握有限元分析的基本思想和程序设计方法。 这些书籍都适合初学者和进阶者,不仅能够讲解有限元方法的原理和应用,还能够指导读者通过MATLAB编写自己的有限元程序。读者根据自己的需求和水平,选择适合的教材进行学习,相信能够有助于掌握有限元方法和MATLAB编程技巧。
建立有限元模型的程序通常需要完成以下步骤: 1. 几何建模:使用几何建模软件(如 AutoCAD、SolidWorks 等)创建三维模型,导出模型文件。 2. 网格划分:使用有限元网格划分软件(如 ANSYS、COMSOL 等)将三维模型划分成小的三角形或四边形网格,导出网格文件。 3. 材料属性定义:定义材料的物理属性(如密度、弹性模量、泊松比等),并将其与网格相关联。 4. 边界条件定义:定义模型的边界条件(如约束和荷载),并将其与网格相关联。 5. 求解器设置:选择适当的求解器(如 ANSYS、ABAQUS 等),设置求解器参数。 6. 求解:运行求解器,计算模型的响应。 7. 后处理:使用后处理软件(如 ANSYS、COMSOL 等)对求解结果进行可视化和分析。 以下是一个 MATLAB 建立有限元模型的示例程序: % 读取几何模型。 [model.vertices, model.faces] = read_off_file('model.off'); % 网格划分。 mesh = triangulation(model.faces, model.vertices); % 定义材料属性。 E = 210e9; % 弹性模量 nu = 0.3; % 泊松比 rho = 7800; % 密度 % 定义边界条件。 fixed_nodes = [1, 2, 3]; % 固定节点 fixed_coords = [0, 0, 0]; % 固定坐标 load_nodes = [4, 5, 6]; % 荷载节点 load_force = [0, 0, -1000]; % 荷载力 % 创建有限元模型。 fem = create_fem(mesh, E, nu, rho, fixed_nodes, fixed_coords, load_nodes, load_force); % 求解有限元模型。 [displacements, stresses, strains] = solve_fem(fem); % 后处理。 plot_mesh(mesh, displacements); plot_stresses(stresses); 其中,read_off_file 函数用于读取 OFF 格式的几何模型文件,create_fem 函数用于创建有限元模型,solve_fem 函数用于求解有限元模型,plot_mesh 函数用于绘制位移云图,plot_stresses 函数用于绘制应力云图。
逆有限元方法是一种使用MATLAB编程和矩阵计算的方法来进行有限元分析。该方法的主要步骤包括模型绘制与网格划分、求解刚度矩阵和外载矩阵、求解节点位移和计算应力分布。在求解节点位移时,需要对刚度矩阵进行求逆操作,然后与外载矩阵相乘得到结果。然而,由于刚度矩阵的规模较大,可能会出现矩阵接近奇异值的情况。在MATLAB中,有四种求逆的方法可以解决这个问题。\[1\]\[2\] 如果你想了解更多关于逆有限元MATLAB程序的细节,可以参考引用\[1\]中提供的文献。该文献介绍了使用MATLAB编程和矩阵计算的优点,并通过一个实例来验证该方法的有效性。在该实例中,作者使用编写的M函数文件来求解节点的位移、反力,并绘制出单元的剪力图和弯矩图。这个例子可以帮助你更好地理解逆有限元方法的应用。\[1\] #### 引用[.reference_title] - *1* [用MATLAB进行结构的有限元法分析](https://blog.csdn.net/weixin_34707242/article/details/116066831)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] - *2* *3* [matlab编译平面有限元计算(附有完整代码)](https://blog.csdn.net/hjuihui/article/details/118483382)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] [ .reference_list ]
了解有限元方法的理论和数学基础是学习有限元方法的关键。如果你已经有了一定的数学和物理背景,那么学习有限元方法就会更容易一些。以下是一些学习有限元方法的步骤: 1. 学习有限元方法的基本概念和理论。你可以阅读有限元方法的教材或在线课程,例如《有限元方法基础》或Coursera上的有限元方法课程。 2. 学习如何使用有限元软件包。有限元软件包是一个非常重要的工具,你需要学会如何使用它来解决有限元问题。许多有限元软件包都有详细的文档和教程,你可以阅读它们来学习如何使用它们。 3. 学习如何编写有限元程序。有限元程序是使用有限元软件包来解决特定问题的代码。你需要学会如何使用Matlab编写有限元程序,例如如何定义模拟区域、如何设置边界条件、如何定义变分问题、如何求解问题等等。 4. 练习编写有限元程序。练习编写有限元程序是学习有限元方法的重要步骤。你可以从简单的问题开始,例如解决一个线性弹性问题或者一个热传导问题,然后逐渐增加问题的复杂度。 5. 学习如何优化有限元程序。优化有限元程序可以提高程序的效率和准确性。你可以学习一些有限元程序的优化技巧,例如使用向量化、使用矩阵预处理器、使用并行计算等等。 总之,学习有限元方法需要一定的时间和耐心。你需要不断练习和探索,才能掌握这个领域的知识和技能。
非线性有限元(matlab)程序是一种用于求解非线性物理问题的计算工具。它使用有限元方法来将复杂的连续体系统离散化为有限个子区域,并求解每个子区域的变形、应力等力学量。 在非线性有限元(matlab)程序中,常见的非线性现象包括材料非线性、几何非线性和接触非线性。其中,材料非线性指材料的应力-应变关系不服从线性弹性理论;几何非线性指在大变形情况下,结构的刚度和形状发生显著的变化;接触非线性指物体之间的接触面发生相互接触、分离或滑动时产生的接触压力、接触面位移等非线性效应。 非线性有限元(matlab)程序的主要步骤包括: 1. 定义几何形状和材料性质:根据问题的几何形状和材料的力学性质,建立模型,并将其离散化为有限个单元。 2. 确定边界条件:根据实际情况,确定边界条件,包括约束条件和加载条件。 3. 计算刚度矩阵和载荷向量:根据单元的几何形状和材料性质,通过积分等方法计算刚度矩阵和载荷向量。 4. 求解非线性方程组:由于非线性性质的存在,计算过程中需要通过迭代的方式来求解非线性方程组,直至达到收敛。 5. 后处理结果:计算完成后,可以通过可视化技术对结果进行后处理,包括绘制位移、应力分布等图示。 总之,非线性有限元(matlab)程序是一种强大的工具,能够模拟和分析非线性物理问题,并为工程设计和科学研究提供有价值的工具和方法。
引用\[1\]和\[2\]提到,从计算机的编程实现角度来看,目前没有算法能够准确地给出任意非代数方程的所有解。然而,我们可以使用一些成熟的算法来求解非线性方程在某点附近的解。在MATLAB中,可以使用fzero和fsolve这两个函数来实现这个目标。具体的用法可以通过使用help或doc命令来查询。如果这些方法仍然无法满足需求,可以将问题转化为非线性最优化问题,并使用fminbnd、fminsearch、fmincon等函数来求解最优解。 引用\[3\]提到,符号求解并不是万能的。当使用MATLAB进行符号求解时,如果得到无解或未找到所期望的解,应该尝试其他方法来求解。因此,对于有限元非线性求解程序,可以考虑使用MATLAB中的非线性求解函数来实现。 #### 引用[.reference_title] - *1* [MATLAB求解非线性方程](https://blog.csdn.net/m0_68431045/article/details/128064353)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] - *2* [[转载]MATLAB求解非线性方程(转)](https://blog.csdn.net/weixin_42523792/article/details/115828099)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] - *3* [MATLAB应用 求解非线性方程](https://blog.csdn.net/weixin_42316073/article/details/115936216)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] [ .reference_list ]
MATLAB是一种流行的科学计算软件,它在有限元分析中也有丰富的应用,包括生成三角形网格。有限元三角形网格程序是一种将几何区域离散为三角形网格的算法,这在进行有限元分析时非常重要。 MATLAB提供了许多函数和工具箱来生成和处理三角形网格。例如,MATLAB自带的PDE工具箱可以帮助生成和操纵三角形网格,它提供了一些常用的函数,如pdegeom、initmesh和refinemesh等。使用这些函数,我们可以定义几何区域、初始化网格并对其进行细化。 在MATLAB中,我们可以使用pdegeom函数定义几何区域。它可以用来创建包括矩形、圆形和复杂多边形等几何形状,然后使用initmesh函数生成初始网格。初始网格通常是较粗的,需要进行进一步细化以满足精确的模拟需求。使用refinemesh函数可以对初始网格进行细化,将三角形划分为更小的子三角形,以提高计算精度。 生成三角形网格后,我们可以使用MATLAB进行有限元分析。MATLAB提供了许多用于有限元分析的函数和工具箱,例如pdesolve和pdetool等。这些函数可以用于求解一个特定的偏微分方程,并生成有限元解。同时,我们还可以对生成的网格进行可视化和后处理。 总之,MATLAB提供了丰富的函数和工具来生成和处理有限元三角形网格。通过使用这些函数,我们可以方便地进行几何区域的离散化,并对网格进行进一步的细化。同时,MATLAB还提供了有限元分析所需的函数和工具,使我们能够进行准确的数值模拟和分析。
编制2杆有限元计算程序的步骤如下: 1. 创建一个包含6个.m文件的程序,这些文件分别是Link.m、eLength.m、Transformation.m、stabTransformation.m、Cholesky.m和Delete.m。其中,Link.m是主文件,包含静力计算、稳定性计算和自振频率计算的功能;eLength.m用于计算单元长度;Transformation.m用于计算静力问题的坐标转换阵;stabTransformation.m用于计算稳定性问题的坐标转换阵;Cholesky.m用于进行乔里斯基分解计算全局节点位移;Delete.m用于处理约束,采用划行划列方法。 2. 在程序中添加详细的注释,以便理解代码实现。程序的输入参数变量需要进行说明,一旦了解了如何输入参数,程序就可以当做黑盒子使用。 3. 程序可以对绝大多数的平面/空间杆系结构进行静力学计算、自振频率计算和平面杆系结构的稳定性计算。具有通用性。 4. 程序中的节点载荷信息存储在变量P中,列号表示节点号,第一、二、三行分别表示x、y、z方向的载荷值。根据实际情况填写,按照自己建立的坐标系规定正负。只能填写集中力载荷,如果存在均布载荷和弯矩,需要先将其转化为等效的集中力。 5. 稳定性计算只能针对结构只有一个外力载荷的情况,计算的是该力在该方向下的临界值。稳定性计算的理论方法是在某个节点上施加竖直或水平方向的单位力,得到单位力下的杆内力,代入初应力矩阵(几何刚度阵)进行计算。 6. 程序中稳定性计算需要借助静力计算时施加的外载,通过线性关系可以计算出单位力下的杆内力。外载的方向即为单位力的方向,计算得到的临界力即为外载方向的临界力。每次计算稳定性问题时,需要将外力载荷坐标号放入相应位置。 7. 建议在不进行稳定性计算或自振频率计算时将整个模块的代码注释掉,以避免错误。
以下是一个简单的有限元分析悬臂梁的Matlab程序: matlab % 定义参数 L = 1; % 梁的长度 h = 0.1; % 梁的高度 b = 0.05; % 梁的宽度 E = 2e11; % 弹性模量 nu = 0.3; % 泊松比 rho = 7800; % 密度 g = 9.81; % 重力加速度 % 定义节点和单元数 n_nodes = 11; n_elems = n_nodes - 1; % 定义节点坐标 x = linspace(0, L, n_nodes); y = zeros(1, n_nodes); % 定义单元节点 elems = [1 2; 2 3; 3 4; 4 5; 5 6; 6 7; 7 8; 8 9; 9 10; 10 11]; % 定义材料矩阵 D = E/(1-nu^2)*[1 nu 0; nu 1 0; 0 0 (1-nu)/2]; % 定义初始应变矩阵 epsilon_0 = zeros(3, n_elems); % 定义初始速度和加速度矩阵 v_0 = zeros(3, n_nodes); a_0 = zeros(3, n_nodes); % 定义质量矩阵和刚度矩阵 M = zeros(3*n_nodes, 3*n_nodes); K = zeros(3*n_nodes, 3*n_nodes); % 计算质量矩阵和刚度矩阵 for i = 1:n_elems % 获取单元节点 n1 = elems(i, 1); n2 = elems(i, 2); % 计算单元长度和角度 L_e = norm([x(n2)-x(n1) y(n2)-y(n1)]); theta_e = atan2(y(n2)-y(n1), x(n2)-x(n1)); % 计算单元转换矩阵 T_e = [cos(theta_e) sin(theta_e) 0 0 0 0; -sin(theta_e) cos(theta_e) 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 cos(theta_e) sin(theta_e) 0; 0 0 0 -sin(theta_e) cos(theta_e) 0; 0 0 0 0 0 1]; % 计算单元质量矩阵和刚度矩阵 Me = rho*h*b*L_e/420*[156 22*L_e 54 -13*L_e; 22*L_e 4*L_e^2 13*L_e -3*L_e^2; 54 13*L_e 156 -22*L_e; -13*L_e -3*L_e^2 -22*L_e 4*L_e^2]; Ke = h*b/(L_e*(1-nu^2))*[1/3*E 1/6*E*L_e -1/3*E 1/6*E*L_e; 1/6*E*L_e 1/3*E*L_e^2 -1/6*E*L_e -1/3*E*L_e^2; -1/3*E -1/6*E*L_e 1/3*E -1/6*E*L_e; 1/6*E*L_e -1/3*E*L_e^2 -1/6*E*L_e 1/3*E*L_e^2]; % 转换到全局坐标系 Me = T_e' * Me * T_e; Ke = T_e' * Ke * T_e; % 将单元质量矩阵和刚度矩阵加入全局质量矩阵和刚度矩阵 M(3*n1-2:3*n1, 3*n1-2:3*n1) = M(3*n1-2:3*n1, 3*n1-2:3*n1) + Me(1:3, 1:3); M(3*n1-2:3*n1, 3*n2-2:3*n2) = M(3*n1-2:3*n1, 3*n2-2:3*n2) + Me(1:3, 4:6); M(3*n2-2:3*n2, 3*n1-2:3*n1) = M(3*n2-2:3*n2, 3*n1-2:3*n1) + Me(4:6, 1:3); M(3*n2-2:3*n2, 3*n2-2:3*n2) = M(3*n2-2:3*n2, 3*n2-2:3*n2) + Me(4:6, 4:6); K(3*n1-2:3*n1, 3*n1-2:3*n1) = K(3*n1-2:3*n1, 3*n1-2:3*n1) + Ke(1:3, 1:3); K(3*n1-2:3*n1, 3*n2-2:3*n2) = K(3*n1-2:3*n1, 3*n2-2:3*n2) + Ke(1:3, 4:6); K(3*n2-2:3*n2, 3*n1-2:3*n1) = K(3*n2-2:3*n2, 3*n1-2:3*n1) + Ke(4:6, 1:3); K(3*n2-2:3*n2, 3*n2-2:3*n2) = K(3*n2-2:3*n2, 3*n2-2:3*n2) + Ke(4:6, 4:6); end % 定义边界条件 bc_nodes = [1]; bc_dofs = [1 2 3]; % 将边界条件应用到质量矩阵和刚度矩阵上 for i = 1:length(bc_nodes) node = bc_nodes(i); dofs = bc_dofs; M(3*node-dofs, :) = 0; M(:, 3*node-dofs) = 0; M(3*node-dofs, 3*node-dofs) = eye(length(dofs)); K(3*node-dofs, :) = 0; K(:, 3*node-dofs) = 0; K(3*node-dofs, 3*node-dofs) = eye(length(dofs)); end % 定义外力矩阵 F = zeros(3*n_nodes, 1); F(3*n_nodes-1) = -1000; % 求解加速度矩阵 a = inv(M) * (F - K * v_0(:)); % 求解位移矩阵 v = v_0(:) + a_0(:) + a(:); % 输出结果 disp(v); % 绘制梁的形状 figure; hold on; for i = 1:n_elems n1 = elems(i, 1); n2 = elems(i, 2); plot([x(n1) x(n2)], [y(n1) y(n2)], 'k'); end axis equal; 该程序定义了一个悬臂梁的几何和材料参数,然后使用有限元方法计算了梁的位移响应。程序输出了梁的位移矩阵,并绘制了梁的形状。

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# 1. 推送通知简介 推送通知是移动应用开发中常用的一种技术,它可以向用户发送消息、提醒或通知,即使用户并未在使用应用时也能及时获取重要信息。在Objective-C中,实现推送通知需要使用苹果提供的苹果推送通知服务(APNs)。本章将介绍推送通知的基础知识,包括推送通知的概念、作用和原理。接下来我们将深入了解。 ### 1.1 什么是推送通知 推送通知是通过网络将消息发送到设备的一种技术。应用程序可以向设备发送推送通知,无论用户当前是否在使用该应用,都可以及时获取到消息或通知。用户收到推送通知后,可以通过通知中的内容了解到消息的来源和内容,以便及时处理。 ### 1.2 推送通知的

php中,跳转语句有break和contimue

其实,`break`和`continue`并不是跳转语句,它们是用于控制循环语句的关键字。 `break`用于中断循环,跳出当前循环结构(如`for`、`while`、`do-while`),执行循环结构后面的语句。如果`break`语句后面跟着一个数字n,则表示跳出第n层循环。例如: ``` for ($i = 0; $i < 10; $i++) { for ($j = 0; $j < 10; $j++) { if ($j == 5) { break 2; // 跳出两层循环 } } } ``` `continue