Python递归求组合数

Python中可以使用递归来计算组合数（Combinatorics），即从n个不同元素中取出k个元素的不同排列数目，通常表示为`C(n, k)`或`n choose k`。这里我们使用阶乘公式来简化计算：

对于`C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)`，其中`n!`代表n的阶乘。

递归函数的基本思路是这样的：
- 如果k等于0或者n等于k，那么只有一个组合，即`C(n, k) = 1`。
- 否则，`C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)`，因为可以选择第n个元素加入前k-1个组合，也可以选择不加入直接作为k个组合的一个元素。

以下是使用递归实现的Python代码示例：

def combination(n, k):
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    else:
        return combination(n - 1, k - 1) + combination(n - 1, k)

# 示例
n = 5
k = 3
result = combination(n, k)
print(f"C({n}, {k}) = {result}")

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求组合数(递归版)(高效)* (10 分) 请编写高效递归函数,求组合数。 题图1.jpg

组合数可以用数学公式C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 表示，其中n为组合中的元素个数，m为需要选取的元素个数。组合数的定义是从n个元素中选取m个元素组成的不重复集合的个数。

为了编写高效的递归函数求组合数，可以使用动态规划的思想来减少重复计算。

首先，设立一个二维数组dp，dp[i][j]表示从i个元素中选取j个元素的组合数。初始化dp数组的边界条件，即当j为0或j等于i时，dp[i][j]等于1。

然后，利用递推关系式C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)来填充dp数组的其他元素，其中n从1到num，m从1到min(n,r)。

最后，返回dp[num][r]作为最终的组合数。

以下是用Python编写的高效递归函数求组合数的代码示例：

def combination(n, m):
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 1
        dp[i][i] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, min(i, m) + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
    return dp[n][m]

num = int(input("请输入元素个数n："))
r = int(input("请输入选取的元素个数r："))

print("组合数为：", combination(num, r))

以上代码中，将元素个数和选取的元素个数作为输入，最后输出组合数。这样实现的递归函数能够高效地求解组合数，并且通过动态规划的方式减少了重复计算。

正方形染色，满足相邻边不同颜色，求最少需要的染色数python递归程序

正方形染色问题，也称为四色问题（4-color theorem），是一个经典的问题，目标是在一个正方形网格上最小化所需的颜色数量，使得任意两个相邻的单元格颜色都不相同。这是一个经典的组合优化问题，可以用递归的方式来解决。

下面是一个简单的Python递归程序思路：

def min_colors(side, colors_used, current_color):
    # 基本情况：如果边长为1，那么只需要一种颜色，返回1
    if side == 1:
        return 1
    
    # 边长大于1的情况：分四种状态考虑，每种状态下当前颜色是否可用
    for next_color in range(1, len(colors_used) + 1):  # 从1开始到已使用的颜色数
        if next_color != current_color:  # 如果下一个颜色不是当前颜色
            # 递归地尝试给剩余的边涂色，并加1
            result = min_colors(side - 1, colors_used + [next_color], next_color)
            if result is not None:  # 如果找到了可行的颜色方案
                return result

# 初始化函数，传入初始参数
side = 4  # 正方形边长
colors_used = []  # 初始没有使用过的颜色
current_color = 0  # 从第一个颜色开始

# 调用函数并获取最少颜色数
min_colors_result = min_colors(side, colors_used, current_color)

if min_colors_result is not None:
    print(f"最少需要 {min_colors_result} 种颜色来满足条件")
else:
    print("无法找到合适的颜色配置")