2.高斯函数计算。编写一个 MATLAB 函数，计算给定向量x处高斯分布 (m,S)的值。

高斯函数也称为正态分布函数，通常用于描述随机变量的概率密度。在MATLAB中，可以编写一个函数`gaussian_pdf`来计算向量`x`在均值`m`和标准差矩阵`S`下的高斯分布概率密度。下面是函数的基本结构：

function pdf = gaussian_pdf(x, m, S)
% GAUSSIAN_PDF 计算高斯分布的PDF值
% 输入:
%   x: 要评估分布的向量
%   m: 高斯分布的均值向量
%   S: 方差矩阵，也可以是协方差矩阵（如果对角元素代表方差，非对角元素表示协方差）
%
% 输出:
%   pdf: 向量x对应于高斯分布的概率密度值

% 检查输入维度是否匹配
if ~isequal(size(m), size(S)) || size(S, 2) ~= length(m)
    error('Input dimensions are not compatible for a Gaussian distribution.');
end

% 如果S是对角矩阵，提取方差
if isdiagonal(S)
    sigma = sqrt(diag(S));
else
    sigma = sqrt(eigvalsh(S)); % 使用谱分解得到对角化后的方差
end

% 计算z-score（标准化得分）
z = (x - m) ./ sigma;

% 应用高斯分布公式，注意减去0.5是因为使用了自然对数
pdf = exp(-z.' * z / 2);
pdf = pdf ./ (2 * pi * prod(sigma)^(length(m) / 2)); % 正则化因子
end