数据结构单源最短路径

单源最短路径是指从图中的一个源点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径。数据结构中常用的两种单源最短路径算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

1. Dijkstra算法：
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。该算法的基本思想是：将图中的所有顶点分成两个集合，一个集合为已求出最短路径的顶点集合S，另一个为未求出最短路径的顶点集合V-S。初始时，集合S中只有源点，即S={v}，V-S为除源点外的其他顶点。然后，从V-S中选择与源点距离最短的顶点u，将其加入到S中，并更新从源点v到集合V-S中所有顶点的距离。重复执行该过程，直到集合V-S为空。

2. Bellman-Ford算法：
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。该算法的基本思想是：对于图中的任意一条边(u,v)，如果存在从源点s到u的最短路径，则从源点s到v的最短路径就是从源点s到u的最短路径加上边(u,v)的权值。因此，Bellman-Ford算法通过对所有边进行松弛操作，不断更新从源点s到各个顶点的最短路径估计值，直到所有边的松弛操作都无法使最短路径估计值发生变化为止。

下面是两种算法的Python实现：

1. Dijkstra算法：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    # 初始化距离字典和堆
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    heap = [(0, start)]
    # 循环直到堆为空
    while heap:
        # 弹出堆中距离最小的顶点
        (d, node) = heapq.heappop(heap)
        # 如果该顶点已经处理过，则跳过
        if d > dist[node]:
            continue
        # 遍历该顶点的所有邻居
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            # 计算从起点到该邻居的距离
            distance = dist[node] + weight
            # 如果该距离比已有的距离小，则更新距离字典和堆
            if distance < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = distance
                heapq.heappush(heap, (distance, neighbor))
    return dist

2. Bellman-Ford算法：

def bellman_ford(graph, start):
    # 初始化距离字典
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[start] = 0
    # 循环V-1次，对所有边进行松弛操作
    for i in range(len(graph) - 1):
        for u in graph:
            for v, weight in graph[u].items():
                if dist[u] + weight < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + weight
    # 检查是否存在负权回路
    for u in graph:
        for v, weight in graph[u].items():
            if dist[u] + weight < dist[v]:
                raise ValueError("Graph contains negative weight cycle")
    return dist