阶跃响应模型辨识C++

### C++ 实现阶跃响应模型辨识

在工程实践中，阶跃响应是一种常见的测试手段来获取系统的动态特性。对于线性定常系统而言，可以通过输入单位阶跃信号并记录输出随时间变化的数据来进行模型辨识。

为了利用C++实现这一过程，首先需要采集到足够的实验数据——即施加于被测对象上的阶跃激励以及相应的输出序列；接着基于这些观测值估计出描述该行为的最佳拟合曲线或数学表达式。这里介绍一种较为简单的方式：最小二乘法拟合二阶传递函数[^3]。

假设已知一组离散的时间点t[i]及其对应的测量结果y[i]（i=0,1,...,N），则目标就是找到最优解使得误差平方和达到最小化：

\[ E(a,b)=\sum_{i=0}^{N}(Y(t_i)-H(s)|_{s=\frac{\ln(\frac{t}{T})}{T}})^2 \]

其中\( Y(t)\)表示实际量测得到的瞬态响应，而 \( H(s)\) 则代表待估参量下的理论预测值。由于涉及到拉普拉斯反变换计算，在此采用数值近似方法求得连续域内频率变量 s 对应时刻 t 的映射关系。

下面给出一段简化版的C++程序框架用于执行上述任务:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

// 定义二阶传递函数类
class SecondOrderTransferFunction {
public:
    double a1, a0, b1, b0; // 参数初始化
    
    void setParams(double _a1, double _a0, double _b1, double _b0){
        this->a1=_a1;
        this->a0=_a0;
        this->b1=_b1;
        this->b0=_b0;
    }

    vector<double> stepResponse(const int N, const double T){ 
        vector<double> y(N);
        for(int i=0;i<N;++i){
            double t=i*T;
            complex<double> z(-this->b1/2,this->sqrt(this->pow(this->b1,2)/4-this->b0));
            auto h=[&](double tau)->complex<double>{return (exp(z*tau)*(z*this->a1+this->a0))/(z*z+z*this->b1+this->b0);};
            y[i]=real(h(t).imag()/sinh(imag(z)*t)+h(t).real());
        }
        return y;
    }
};

int main(){
    // 初始化参数...
    
    SecondOrderTransferFunction tf;
    tf.setParams(/*...*/);

    // 获取实测数据...

    // 计算残差平方和...

    cout << "Optimal parameters found!"<<endl;
}

需要注意的是这段代码仅为示意性质，并未包含完整的算法逻辑如优化寻优部分等。此外还存在许多其他更高效精确的技术可供选择，比如遗传算法、粒子群优化等等。