MATLAB信号处理中的小波变换：探索时频域奥秘，解锁信号分析新维度

# 1. 小波变换概述**

小波变换是一种时频分析工具，用于处理具有非平稳性和局部性的信号。它通过将信号分解为一系列小波基函数来实现，这些小波基函数具有不同尺度和时间平移。

小波变换的优势在于它能够同时提供时间和频率信息，从而克服了传统傅里叶变换仅提供频率信息和短时傅里叶变换时间分辨率有限的缺点。这种时频分析能力使得小波变换在信号处理、图像处理和数据分析等领域得到了广泛的应用。

# 2. 小波变换理论基础

### 2.1 连续小波变换

#### 2.1.1 小波基和尺度函数

连续小波变换（CWT）的核心概念是小波基和尺度函数。小波基是一个实值函数，它满足以下条件：

* 0 均值：∫ψ(t)dt = 0
* 能量归一化：∫|ψ(t)|²dt = 1

尺度函数是一个与小波基相关的函数，它满足以下条件：

* 平移不变性：φ(t - τ) = φ(t)
* 尺度不变性：φ(at) = |a|⁻¹²φ(t)

#### 2.1.2 小波变换的数学原理

CWT通过将信号与平移和尺度变换的小波基进行卷积来实现。CWT的公式如下：

CWT(s, τ) = ∫f(t)ψ(s⁻¹(t - τ))dt

其中：

* f(t) 是待分析信号
* ψ(t) 是小波基
* s 是尺度参数
* τ 是平移参数

CWT的卷积操作产生一个时频图，其中水平轴表示时间，垂直轴表示尺度。图中的每个点表示信号在特定时间和尺度下的能量。

### 2.2 离散小波变换

#### 2.2.1 小波滤波器组

离散小波变换（DWT）是CWT的离散版本，它使用一组离散小波滤波器来实现。这些滤波器组通常由两个滤波器组成：

* 低通滤波器（h）：用于提取信号的低频成分
* 高通滤波器（g）：用于提取信号的高频成分

#### 2.2.2 离散小波变换算法

DWT算法采用多尺度分解的方式，将信号分解成一系列低频和高频成分。算法的步骤如下：

1. 将信号与低通滤波器卷积，得到低频成分（近似系数）
2. 将信号与高通滤波器卷积，得到高频成分（细节系数）
3. 对低频成分重复步骤1和2，直到达到预定的分解层数

DWT算法的输出是一个多尺度表示，其中每个尺度包含信号的不同频率成分。

# 3. 小波变换在信号处理中的应用

小波变换在信号处理领域有着广泛的应用，特别是在信号降噪和信号压缩方面。

### 3.1 信号降噪

信号降噪是信号处理中的一项基本任务，其目的是去除信号中的噪声，提高信号的信噪比。小波变换具有良好的时频局部化特性，可以有效地去除不同频率范围内的噪声。

#### 3.1.1 小波阈值去噪方法

小波阈值去噪方法是一种基于小波变换的非线性去噪方法。其基本思想是将信号的小波系数与一个阈值进行比较，保留大于阈值的小波系数，去除小于阈值的小波系数。通过这种方式，可以有效地去除噪声，同时保留信号的细节特征。

**代码块：**

import pywt

def wavelet_denoising(signal, wavelet, level):
    """
    小波阈值去噪

    Args:
        signal: 待去噪信号
        wavelet: 小波基
        level: 分解层数

    Returns:
        去噪后的信号
    """

    # 小波分解
    coeffs = pywt.