掌握三角函数积化和差法提高解题效率

# 1. 三角函数基础概念

## 1.1 什么是三角函数
三角函数是描述直角三角形中角度与边长之间关系的数学函数。常见三角函数包括正弦、余弦、正切函数，它们分别定义为直角三角形中的不同比值。

### 1.1.1 正弦、余弦、正切函数的定义
- 正弦函数：定义为斜边与斜边所在角对边的比值。
- 余弦函数：定义为斜边与斜边所在角邻边的比值。
- 正切函数：定义为斜边所在角的对边与邻边的比值。

## 1.2 三角函数在几何中的应用
三角函数在几何中广泛应用，帮助计算角度、边长之间的关系，解决三角形中的各类问题。

### 1.2.1 角度、边长之间的关系
三角函数帮助我们确定角度与三角形各边之间的关系，是解决几何问题的重要工具之一。

### 1.2.2 三角函数在三角形中的应用
通过三角函数，我们可以计算三角形的各个角度和边长，为解决三角形相关问题提供便利。

# 2.1 周期性和奇偶性

三角函数是一种周期性的函数，它们在定义域内具有特定的周期。正弦函数和余弦函数的周期是$2\pi$，即它们的图像在横轴上每隔$2\pi$就会重复一次。而正切函数的周期是$\pi$。这种周期性可以用数学表达式$\sin(x+2\pi) = \sin x$、$\cos(x+2\pi) = \cos x$、$\tan(x+\pi) = \tan x$来表示。

### 2.1.1 三角函数图像的周期性解释

- **正弦函数**：正弦函数的图像在每个周期内都是以原点为中心对称的，呈现出波浪状的形态。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 4*np.pi, 1000)
y = np.sin(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('sin(x)')
plt.title('Graph of y = sin(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

- **余弦函数**：余弦函数的图像在每个周期内也是以原点为中心对称的，与正弦函数的波形相位不同。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 4*np.pi, 1000)
y = np.cos(x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('cos(x)')
plt.title('Graph of y = cos(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

### 2.1.2 三角函数的奇偶性质

三角函数的奇偶性质对于函数的性质及计算具有重要意义。
- **正弦函数**和**正切函数**是奇函数，即$\sin(-x) = -\sin x$、$\tan(-x) = -\tan x$，图像关于原点对称；
- **余弦函数**是偶函数，即$\cos(-x) = \cos x$，图像关于$y$轴对称。

## 2.2 三角函数的幅角与初相角

三角函数的幅角和初相角是描述三角函数图像位置和形状的重要参数。

### 2.2.1 幅角与初相角的定义

- **幅角**：幅角是指三角函数图像波峰（峰值）到横轴的距离，描述了函数的振幅大小。
- **初相角**：初相角是指三角函数在$x$轴上的交点到原点的距离，描述了函数图像在横轴上的平移情况。

graph TD;
    A[原点] --> B{波峰};
    B --> C[幅角];
    A --> D{交点};
    D --> E[初相角];

### 2.2.2 幅角与初相角的关系

三角函数图像的位置和形状可以由幅角和初相角共同确定。改变幅角会影响波形的高低，而改变初相角则会影响波形的位置。在解析三角函数图像时，将幅角和初相角结合起来分析，能更清晰地理解和描绘函数的特点。

# 3. 三角函数的加法定理与差化积

## 3.1 三角函数的加法公式

三角函数的加法公式是解决复杂三角函数表达式的重要工具之一。通过加法公式，可以将一个复杂的三角函数表达式拆解成更简单的形式，从而便于计算和求解问题。

### 3.1.1 正弦、余弦、正切函数的加法公式推导

三角函数的加法公式有许多种形式，其中最常用的包括正弦函数、余弦函数和正切函数的加法公式：

- 正弦函数的加法公式：$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
- 余弦函数的加法公式：$\cos(A \pm B) = \cos