平面图及平面图的四色定理

# 1. 什么是平面图？

### 1.1 定义和基本概念

在图论中，平面图是一种特殊的图，可以在平面上绘制而无需边交叉的图。具体来说，平面图是指可以被嵌入在二维平面上的图，使得图中的边不相交。这种特性让平面图在许多实际问题中具有重要的应用价值。

### 1.2 平面图的类型

平面图可以根据其结构和特性分为多种类型，例如简单平面图、连通平面图、平面完全图等。不同类型的平面图在图论研究和实际应用中有着各自的特点和用途。

### 1.3 平面图与图论的关系

平面图作为图论中的一个重要分支，在研究网络连接、路线规划、布局设计等问题时发挥着重要作用。通过对平面图的研究，可以深入理解图论中的各种概念和定理，为实际问题的解决提供有效的方法和工具。

# 2. 平面图的特性与性质

平面图作为图论中的重要概念之一，具有许多独特的性质和特性，下面将介绍一些关于平面图的特性及性质。

### 2.1 Euler公式及其应用

#### Euler公式的表述
Euler公式是描述平面图中顶点数、边数和面数之间关系的重要公式，通常表述为 $V - E + F = 2$，其中 $V$ 表示顶点数，$E$ 表示边数，$F$ 表示面数。

#### Euler公式的应用
通过Euler公式，我们可以推导得出一些结论，比如任意简单连通平面图中的边数不超过 $3V - 6$，对于平面图的某些问题求解提供了重要的参考。

### 2.2 平面图的度数序列

#### 度数序列的概念
平面图中，每个顶点的度数都是其相邻边的条数，度数序列则是所有顶点度数的列表。

#### 度数序列的特点
平面图的度数序列有一些独特的特点，如对于平面图$G$，其度数序列满足 $\sum_{i=1}^{n} d_i = 2E$，其中 $d_i$ 为第 $i$ 个顶点的度数。

### 2.3 平面图的特征

#### 平面图的特征描述
平面图具有一些独特的特征，如平面图中不包含子图同构于 $K_5$（完全图）或者 $K_{3,3}$（二部图）。

#### 特征的影响与应用
平面图的特征决定了其在某些问题求解中的适用范围，也为构建特定类型的平面图提供了指导。

# 3. 四色定理的历史

在这一章节中，我们将回顾四色定理的历史，包括它的提出、证明尝试以及最终的解决方案。

#### 3.1 Four Color Conjecture的提出

四色定理最初作为一个猜想被提出，这个猜想认为任何一个平面图都可以使用四种颜色进行着色，使相邻的区域具有不同颜色。这个猜想最早可以追溯到1852年，由弗朗西斯·加思席提出。

#### 3.2 历史上的四色猜想证明尝试

自Four Color Co