正则化线性回归在MATLAB中的实现

# 1. 简介

## 1.1 线性回归的基础概念

线性回归是一种用于建立输入变量与连续型输出变量之间关系的统计模型。它假设因变量（输出）与自变量（输入）之间存在线性关系，并且通过该关系进行预测或者分析。线性回归在统计学和机器学习领域都有广泛的应用。

## 1.2 正则化线性回归的介绍

正则化线性回归是在线性回归模型的基础上加入正则项，以控制模型的复杂度并防止过拟合的一种方法。正则化项可以是L1正则化（Lasso）或者L2正则化（Ridge），通过调整正则化参数，可以平衡模型的拟合程度和泛化能力。

## 1.3 MATLAB在机器学习中的应用简述

MATLAB是一种强大的科学计算软件，其中包含了丰富的机器学习工具包，提供了各种算法和函数用于数据处理、特征提取、模型训练等任务。在机器学习领域，MATLAB被广泛应用于模型开发、性能评估和结果可视化等方面。

# 2. 线性回归模型

### 2.1 线性回归模型的原理

在线性回归中，我们试图建立一个线性关系模型来描述自变量和因变量之间的关系。假设有特征矩阵 $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其中 $m$ 是样本数，$n$ 是特征数，以及目标向量 $y \in \mathbb{R}^{m}$。线性回归模型可以表示为:

\hat{y} = X\beta + \epsilon

其中 $\hat{y}$ 是预测值，$\beta$ 是待求参数向量，$\epsilon$ 是误差。我们的目标是求解最优的参数 $\beta$，使得预测值 $\hat{y}$ 与真实值 $y$ 的残差平方和最小。

### 2.2 损失函数和优化目标

在线性回归中，通常使用最小二乘法来拟合参数 $\beta$，其损失函数定义为残差平方和：

\text{MSE} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2

我们的优化目标是最小化损失函数，即求解：

\min_{\beta} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y^{(i)} - X^{(i)}\beta)^2

### 2.3 梯度下降算法在线性回归中的应用

梯度下降是一种常用的优化算法，用于求解损失函数的最优参数。在线性回归中，我们可以通过梯度下降算法不断迭代更新参数 $\beta$，使得损失