贪心算法：解决组合优化问题

# 1. 简介
## 1.1 什么是贪心算法
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优决策，从而希望能够导致全局最优解的算法。它通常适用于组合优化问题，通过每一步的局部最优选择，最终达到全局最优。贪心算法的核心是贪心选择性质和最优子结构。

## 1.2 贪心算法在组合优化问题中的应用
贪心算法常常应用于解决组合优化问题，诸如背包问题、调度问题、最小生成树等。在这些问题中，贪心算法能够提供简单高效的解决方案，因此被广泛应用于实际生活和工程问题中。

## 1.3 文章结构概览
### 3. 组合优化问题概述

在本章中，我们将介绍组合优化问题的基本概念，并举例说明不同类型的组合优化问题，以便更好地理解贪心算法在解决这些问题中的优势。

#### 3.1 什么是组合优化问题

组合优化问题是在离散空间中寻找最优解的一类问题。它通常涉及在给定约束条件下，寻找某种组合使得目标函数达到最大或最小值。组合优化问题的解空间通常包含大量的组合，因此寻找最优解是一个复杂且具有挑战性的任务。

#### 3.2 经典的组合优化问题案例介绍

经典的组合优化问题包括但不限于：
- 背包问题：在有限的容量下，选择具有最大价值的物品装入背包，使得总价值最大化。
- 旅行商问题：在给定的一组城市中，寻找最短的路径依次经过每个城市并回到起始城市。
- 调度问题：在限定资源下，安排任务的执行顺序以最大化收益或完成任务的数量。

#### 3.3 贪心算法在解决组合优化问题中的优势

贪心算法在解决组合优化问题时通常具有高效性和简洁性。由于其每一步都采取局部最优的选择，因此可以快速找到一个近似最优解。此外，贪心算法的实现通常较为简单，不需要进行大量的计算，适用于大规模问题的求解。因此，在某些情况下，贪心算法可以成为解决组合优化问题的有效工具。

### 4. 贪心算法解决组合优化问题的实际应用

在本章中，我们将详细介绍贪心算法在解决组合优化问题中的实际应用。我们将以背包问题和调度问题为例，展示贪心算法在实际场景中的应用，并分析其代码实现和运行结果。

#### 4.1 背包问题的贪心算法解法

背包问题是一个经典的组合优化问题，主要包括0-1背包问题、分数背包问题和多重背包问题。在这里，我们以0-1背包问题为例，给出贪心算法的解法。

def fractional_knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    ratio = [values[i] / weights[i] for i in range(n)]
    index = list(range(n))
    index.sort(key=lambda i: ratio[i], reverse=True)

    max_value = 0
    fractions = [0] * n
    for i in index:
        if weights[i] <= capacity:
            fractions[i] = 1
            max_value += values[i]
            capacity -= weights[i]
        else:
            fract