计算机中的二进制表示方式

# 1. 介绍二进制和计算机

## 1.1 二进制的基本概念

二进制是一种由 0 和 1 组成的数字系统，是现代计算机中表示和处理数据的基础。相对于我们常用的十进制（0-9）、二进制只包含了两个数字，这是计算机内部使用的基本数字系统。

在二进制中，每一位数字称为一个比特（bit），它可以是 0 或 1，而且这些数字按照权值去组成数，和我们所熟知的十进制系统类似。

## 1.2 二进制在计算机中的应用

计算机中的所有数据都以二进制形式存储，包括文本、图片、音频等。因为计算机中所有的操作都是由电子开关控制的，利用二进制可以非常简单和方便地表示和操作这些开关。

## 1.3 为什么计算机使用二进制

计算机使用二进制表示是因为电子开关只有两种状态：打开和关闭。这种稳定的、可靠的双态性使得二进制成为了最适合用于表示和操作计算机内部信息的数字系统。如果我们使用其他数字系统，比如十进制，那么就需要更多的电子开关状态来表示同样的信息，这样就浪费了资源并增加了系统复杂度。因此，二进制对于计算机来说是最自然和高效的表示方法。

# 2. 二进制数的表示方法

二进制数是计算机中最常用的数制，它由数字0和1组成。在计算机中，二进制表示了数字、字符、图像和各种数据类型。下面将介绍几种常见的二进制表示方法。

### 2.1 二进制数的基本表示

二进制数的基本表示是按权展开法。以二进制数1101为例，它可以表示为：

1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

其中，^表示乘方运算。

### 2.2 无符号整数的二进制表示

在计算机中，无符号整数通常使用固定长度的二进制数表示。例如，8位无符号整数的取值范围是从0到255，可以表示的数有256个。

以8位无符号整数89为例，其二进制表示为01011001。

### 2.3 有符号整数的二进制表示

有符号整数使用最高位表示符号，常见的表示方法有原码、反码和补码。

以8位有符号整数-42为例，其二进制表示为10101010。

### 2.4 浮点数的二进制表示

浮点数使用科学计数法表示，其中尾数和指数均用二进制表示。例如，单精度浮点数使用32位表示。

以单精度浮点数3.14为例，其二进制表示为01000000010010001111010111000011。

以上是关于二进制数的表示方法的介绍。对于不同的数据类型，计算机使用不同的二进制表示方式。理解这些表示方法对于程序员来说非常重要。在后续章节中，将进一步介绍二进制运算和计算机中的二进制逻辑。

# 3. 二进制运算

在计算机中，二进制的运算是非常重要的。二进制运算可以通过逻辑门和位操作来实现，它包括加法、减法、乘法和除法等基本运算。

#### 3.1 二进制加法

二进制加法是计算机中常用的运算之一。它的规则和十进制加法类似，只不过只能使用0和1两个数字进行计算。

def binary_addition(a, b):
    carry = 0
    result = ""
    for i in range(len(a)-1, -1, -1):
        bit_sum = carry + int(a[i]) + int(b[i])
        result = str(bit_sum % 2) + result
        carry = bit_sum // 2

    if carry:
        result = str(carry) + result
    return result

# 示例
a = "1010"
b = "1101"
print(binary_addition(a, b))  # 输出：10111

代码解析：

- 首先，我们定义了一个函数 `binary_addition`，它接受两个二进制数 `a` 和 `b` 作为参数。
- 然后，我们初始化进位 `carry` 和结果 `result`。
- 接下来，我们通过逐位相加得到每一位的和，并用模运算得到该位的结果。
- 将该位结果加到结果字符串 `result` 的前面。
- 最后，如果仍有进位，将进位加到结果字符串的最前面。
- 最后，返回结果字符串。

#### 3.2 二进制减法

二进制减法也是计算机中常见的运算之一。它的规则和十进制减法类似，只不过只能使用0和1两个数字进行计算。

public String binary_subtraction(String a, String b) {
    int len_a = a.length();
    int len_b = b.length();
    StringBuilder result = new StringBuilder();
    int carry = 0;

    // 在较短的二进制数前面补0，使两个数的长度相等
    if (len_a < len_b) {
        for (int i = 0; i < len_b - len_a; i++) {
            a = "0" + a;
        }
    } else if (len_a > len_b) {
        for (int i = 0; i < len_a - len_b; i++) {
            b = "0" + b;
        }
    }

    // 从最右边（最低位）开始进行减法运算
    for (int i = a.length() - 1; i >= 0; i--) {
        int num_a = Character.getNumericValue(a.charAt(i));
        int num_b = Character.getNumericValue(b.charAt(i));

        int diff = num_a - num_b - carry;

        // 如果差值小于0，需要向前一位借位（carry=1）
        if (diff < 0) {
            diff += 2;
            carry = 1;