线性相关性与线性无关性的判定

# 1. 引言

## 1.1 介绍
线性代数作为数学的一个分支，是计算机科学、物理学、经济学等众多领域的基础知识之一。线性相关性与线性无关性作为线性代数中的重要概念，对于理解向量空间、矩阵运算以及解决实际问题都具有重要意义。

## 1.2 目的和重要性
本章将介绍线性相关性与线性无关性的概念，重点探讨其定义、性质以及判定方法。通过对线性相关性与线性无关性的深入理解，可以帮助读者在实际问题中更好地应用线性代数知识，解决相关的数学和工程问题。

## 1.3 结构概述
本章将首先介绍线性相关性的定义和性质，然后探讨线性无关性的定义和性质。最后，将概述判定线性相关性和线性无关性的方法，为后续章节的内容铺垫。

# 2. 线性相关性的定义和性质

线性相关性是线性代数中一个重要的概念，用来描述向量之间的关系。在本章中，我们将介绍线性相关性的定义和性质，并通过示例来进一步理解相关的概念。

### 2.1 线性相关性的定义

在向量空间中，如果存在一组非零向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$和一组标量$c_1, c_2, \cdots, c_n$，使得线性组合$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$成立，并且至少存在一个标量$c_i$不为零，则称向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$线性相关。

### 2.2 线性相关性的性质

线性相关性具有以下性质：

1. 如果向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$中存在零向量，则该向量组必然线性相关。
2. 如果向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$中有向量可以表示为其他向量的线性组合，则该向量组线性相关。
3. 如果向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$中至少有一个向量可以通过其他向量线性表示，则该向量组线性相关。
4. 如果向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n$线性相关，那么对于任意标量$c_1, c_2, \cdots, c_n$，线性组合$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$一定成立。

### 2.3 相关性的示例

下面通过示例来说明线性相关的概念。

#### 示例1：

考虑向量组$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$和$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$，我们来判断它们是否线性相关。

根据定义，我们需要找到一组不全为零的标量$c_1$和$c_2$，使得$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

解方程$c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$得到$c_1 = -2c_2$。

如果选择$c_2 = 1$，则$c_1 = -2$，此时$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

因此，向量组$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$和$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$是线性相关的。

#### 示例2：

考虑向量组$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，我们来判断它们是否线性相关。

解方程$c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$得到$c_1 + c_2 = 0$。

显然，当$c_1 = 1$且$c_2 = -1$时，满足$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

因此，向量组$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$和$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$是线性相关的。

通过上述示例，我们对线性相关性有了更深入的理解。在下一章中，我们将介绍线性无关性的定义和判定方法。

# 3. 线性无关性的定义和性质

在线性代数中，线性无关性是一种关于向量集合的重要概念。本章将介绍线性无关性的定义和性质，并通过示例来进一步理解。

### 3.1 线性无关性的定义

给定一个向量集合 $\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \}$，如果不存在非零的标量 $\alpha_1, \alpha_2, \ld