快速排序优化攻略:【7大实用技巧】揭秘,超越归并排序!

发布时间: 2025-03-28 12:27:11 阅读量: 4 订阅数: 13
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摘要

快速排序是一种高效的排序算法,它使用分而治之的策略将大问题分解为小问题,并递归地进行排序。本文首先介绍了快速排序算法的基本概念和核心原理,包括分区策略和递归逻辑,分析了不同分区方法和递归优化技术。随后,文章探讨了优化快速排序的技巧,如选择合适的基准值、处理小数组以及循环展开技术。进一步地,本文介绍了快速排序并行化的改进方法,包括多线程实现和实用的并行排序算法。在比较快速排序与归并排序的基础上,分析了两者的理论和实践上的差异,以及在不同场景下的性能表现。最后,本文总结了快速排序在实际编程中的实现和变种应用,提供了在特定数据集和结合其他算法时的应用案例。

关键字

快速排序;分而治之;分区策略;递归优化;并行化改进;归并排序比较

参考资源链接:快速排序详解:原理、步骤与编程实现

1. 快速排序算法简介

快速排序(Quick Sort)是一种高效的排序算法,由C. A. R. Hoare在1960年提出。它采用分而治之(Divide and Conquer)的策略来把一个序列分为较小和较大的两个子序列,然后递归地排序两个子序列。快速排序的平均时间复杂度为O(n log n),这使得它在大数据集上的表现优于其他排序算法,如冒泡排序或插入排序。

快速排序的核心在于分区操作,即将数组分为独立的两部分,其中一部分的所有数据都比另一部分的所有数据要小。之后,递归地对这两部分继续进行排序,最终整个序列变为有序。在快速排序的过程中,分区操作的效率直接影响整体排序的性能。

快速排序虽然在最坏情况下时间复杂度可以达到O(n^2),但通过采取一些策略和优化手段,如随机选取基准值、三数取中法、小数组切换到插入排序等,可以有效地避免这种情况,使其在多数实际应用中表现良好。接下来的章节中,我们将详细探讨快速排序的原理、优化技巧及与其它排序算法的比较。

2. 快速排序的核心原理

2.1 分区策略的探索

快速排序算法的效率在很大程度上取决于分区策略,因为一个良好的分区策略能够减少不必要的比较和交换,从而提高算法的整体性能。在本节中,我们将探索两种流行的分区策略:Lomuto分区法和Hoare分区法。

2.1.1 Lomuto分区法

Lomuto分区法是快速排序中一种简单直观的分区策略。其基本思想是:选择一个元素作为基准值(pivot),然后将数组重新排列,所有比基准值小的元素都被移动到它的左边,而所有比基准值大的元素则被移动到它的右边。以下是Lomuto分区法的一个实现示例:

  1. def lomuto_partition(arr, low, high):
  2. pivot = arr[high] # 选择最后一个元素作为基准值
  3. i = low - 1 # 小于基准值的元素的索引
  4. for j in range(low, high):
  5. if arr[j] < pivot:
  6. i += 1 # 将小于pivot的元素移到左边
  7. arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
  8. arr[i + 1], arr[high] = arr[high], arr[i + 1] # 将pivot放到正确的位置
  9. return i + 1 # 返回pivot的索引
  10. # 示例使用
  11. arr = [10, 7, 8, 9, 1, 5]
  12. pivot_index = lomuto_partition(arr, 0, len(arr) - 1)
  13. print("Array after partitioning:", arr)

在上述代码中,lomuto_partition 函数将数组 arr 分区,并返回基准值的最终索引。该函数首先将基准值设为数组的最后一个元素,然后遍历数组,将所有小于基准值的元素移动到数组的左边。最后,基准值被放置在其最终位置,并返回该位置索引。

2.1.2 Hoare分区法

Hoare分区法由C. A. R. Hoare提出,与Lomuto分区法相比,Hoare分区法在处理重复元素时更为高效,因为它能更好地保持分区的平衡。下面是Hoare分区法的一个实现示例:

  1. def hoare_partition(arr, low, high):
  2. pivot = arr[low] # 选择第一个元素作为基准值
  3. i = low - 1
  4. j = high + 1
  5. while True:
  6. # 向左移动j,直到找到一个小于pivot的值
  7. while True:
  8. j -= 1
  9. if arr[j] <= pivot:
  10. break
  11. # 向右移动i,直到找到一个大于pivot的值
  12. while True:
  13. i += 1
  14. if arr[i] >= pivot:
  15. break
  16. # 如果索引交叉,分区完成
  17. if i >= j:
  18. return j
  19. # 否则交换元素,并继续搜索
  20. arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
  21. # 示例使用
  22. arr = [10, 7, 8, 9, 1, 5]
  23. pivot_index = hoare_partition(arr, 0, len(arr) - 1)
  24. print("Array after partitioning:", arr)

在这个函数中,我们从数组的两端开始,将小于或等于基准值的元素移动到左边,将大于或等于基准值的元素移动到右边。最终基准值所在的索引位置便是所有左侧元素均小于基准值,右侧元素均大于基准值的位置。

2.1.3 分区策略对比

分区策略在快速排序的性能优化中起着至关重要的作用。Lomuto分区法因其实现简单而受到欢迎,但其效率较低,特别是在大数据集上。相比之下,Hoare分区法在分区过程中需要更多的交换操作,但通常会导致更好的平衡分区,从而减少整体的比较次数。

2.2 快速排序的递归逻辑

快速排序算法是递归的,因为它将数组分区成两部分,然后对这两部分分别进行排序。在本小节中,我们将详细探讨快速排序的递归逻辑,包括递归的基本结构和栈空间优化。

2.2.1 递归的基本结构

快速排序的递归结构相对直接明了。算法反复选择一个基准值,然后对数组进行分区,最后对基准值左右两边的子数组进行排序。这个过程可以描述为以下步骤:

  1. 基准值选择:选择数组中的一个元素作为基准值。
  2. 分区操作:根据基准值对数组进行分区。
  3. 递归排序:对基准值左右两边的子数组进行递归排序。

以下是使用Python语言实现的快速排序的递归结构:

  1. def quick_sort(arr, low, high):
  2. if low < high:
  3. # Partition the array by setting the position of the pivot value
  4. pi = partition(arr, low, high)
  5. # Recursively sort elements before partition and after partition
  6. quick_sort(arr, low, pi-1)
  7. quick_sort(arr, pi+1, high)
  8. def partition(arr, low, high):
  9. pivot = arr[high]
  10. i = low - 1
  11. for j in range(low, high):
  12. if arr[j] < pivot:
  13. i += 1
  14. arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
  15. arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]
  16. return i + 1
  17. # 示例使用
  18. arr = [10, 7, 8, 9, 1, 5]
  19. n = len(arr)
  20. quick_sort(arr, 0, n-1)
  21. print("Sorted array:", arr)

在这个例子中,quick_sort 函数实现了快速排序的核心逻辑,而partition函数负责将数组分区。

2.2.2 递归与栈空间优化

快速排序是一种原地排序算法,但它在递归过程中需要使用栈空间来保存子问题。对于大量的递归调用,这可能会导致栈溢出,尤其是当分区不平衡时。因此,在实际应用中,我们可以采取措施优化栈空间的使用,比如限制递归深度或转换为迭代实现。

为了减少栈空间的消耗,我们可以采用“尾递归”技术,该技术允许编译器或解释器将递归调用转换为迭代,从而减少栈空间的需求。Python 由于其解释器的限制,本身并不支持尾递归优化,但可以通过其他语言如C或Java实现尾递归,或通过手动管理一个栈来模拟迭代。

此外,还有一个名为“迭代快速排序”的方法,它通过使用一个显式的栈来保存要排序的子数组的范围,从而消除了递归的需要。这种方法的栈空间使用更加明确,而且更加可控。

在本章中,我们从分区策略的探索开始,逐步深入理解了快速排序的核心原理,这为后续章节中关于优化技巧的讨论奠定了基础。快速排序的递归逻辑是算法的核心,通过递归我们将问题不断分解,直至达到基本可解决的规模。在下一节中,我们将介绍快速排序的优化技巧,这些技巧可以进一步提升算法的性能和效率。

3. 快速排序的优化技巧

快速排序虽然在平均情况下表现良好,但其在最坏情况下的性能退化至 O(n^2) 是一个不容忽视的问题。为了在实际应用中充分利用快速排序算法的潜力,研究者和工程师们提出了多种优化技巧。这些技巧通常集中在选择合适的基准值、处理小数组以及循环展开技术上。

3.1 选择基准值的方法

在快速排序中,基准值(pivot)的选择对算法性能有着决定性的影响。一个良好的基准值可以减少分区操作的时间,提高排序效率。

3.1.1 随机化基准值选择

为了防止快速排序在输入数据已经有序或接近有序时退化为最坏情况,可以采用随机化基准值选择的方法。随机化基准值通过引入随机性来避免刻意构造的最坏输入,使算法具有更稳健的性能。

  1. import random
  2. def randomized_partition(arr, low, high):
  3. pivot_index = random.randint(low, high)
  4. arr[pivot_index], arr[high] = arr[high], arr[pivot_index]
  5. return partition(arr, low, high)
  6. def randomized_quick_sort(arr, low, high):
  7. if low < high:
  8. pivot_index = randomized_partition(arr, low, high)
  9. randomized_quick_sort(arr, low, pivot_index - 1)
  10. randomized_quick_sort(arr, pivot_index + 1, high)

3.1.2 三数取中法

三数取中法通过选取数组首、中、尾三个元素的中位数作为基准值,以期获得更加稳定和接近“中间值”的基准值。这种方法通常比随机化方法更高效,因为它减少了随机访问数组的次数。

  1. def median_of_three(arr, low, high):
  2. mid = (low + high) // 2
  3. if arr[low] > arr[mid]:
  4. arr[low], arr[mid] = arr[mid], arr[low]
  5. if arr[mid] > arr[high]:
  6. arr[mid], arr[high] = arr[high], arr[mid]
  7. if arr[low] > arr[mid]:
  8. arr[low], arr[mid] = arr[mid], arr[low]
  9. arr[mid], arr[high - 1] = arr[high - 1], arr[mid]
  10. return arr[high - 1]
  11. def median_of_three_quick_sort(arr, low, high):
  12. if low < high:
  13. pivot_index = median_of_three(arr, low, high)
  14. # Proceed with quick sort using pivot_index

3.2 小数组的处理

当数组规模较小时,快速排序的性能优势不再明显,此时可以切换到其他排序算法,如插入排序,它在这种场景下往往更高效。

3.2.1 插入排序的融合

快速排序在处理小数组时,其性能不如插入排序。因此,一种常见的优化方式是当递归到小数组时,使用插入排序进行处理。

  1. def insertion_sort(arr, left, right):
  2. for i in range(left + 1, right + 1):
  3. key_item = arr[i]
  4. j = i - 1
  5. while j >= left and arr[j] > key_item:
  6. arr[j + 1] = arr[j]
  7. j -= 1
  8. arr[j + 1] = key_item
  9. def small_array_optimization(arr, low, high):
  10. if high - low + 1 < INSERTION_SORT_THRESHOLD:
  11. insertion_sort(arr, low, high)
  12. else:
  13. # Proceed with regular quicksort

3.2.2 切换到其他排序算法

对于特别小的数组,直接切换到计数排序或堆排序等算法可能更为合适。这种优化技巧通常需要在实践中不断尝试和调优,以找到最佳的切换点。

3.3 循环展开技术

循环展开是一种减少循环开销的技术,通过减少循环次数来提高程序的性能,尤其是在循环体内操作较多的情况下。

3.3.1 循环展开的原理

在执行快速排序的交换操作时,使用循环展开可以减少循环的迭代次数,减少循环控制的开销,并可能利用编译器的优化。

3.3.2 实现循环展开的方法

下面的代码展示了循环展开在快速排序分区过程中的实现,通过减少迭代次数来优化性能。

  1. def loop_unrolled_partition(arr, low, high):
  2. pivot_index = median_of_three(arr, low, high)
  3. pivot = arr[pivot_index]
  4. arr[pivot_index], arr[high] = arr[high], arr[pivot_index]
  5. i = low - 1
  6. j = low
  7. for j in range(low, high):
  8. if arr[j] < pivot:
  9. i += 1
  10. arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
  11. arr[i + 1], arr[high] = arr[high], arr[i + 1]
  12. return i + 1

通过以上方法对快速排序算法进行优化,可以使得该算法在不同的应用场景下表现得更加稳健且高效。在接下来的章节中,我们将进一步探讨快速排序的并行化改进以及与归并排序的比较。

4. 快速排序的并行化改进

随着多核处理器的普及,传统的顺序排序算法在性能上的提升空间越来越小。为了应对大数据时代的挑战,算法的并行化改进成为研究的热点。快速排序作为一种高效的排序算法,其并行化改进可以显著缩短大数据排序处理的时间。本章将深入探讨快速排序的并行化改进原理,以及如何在实际中应用并行技术提高排序效率。

4.1 多线程快速排序的原理

4.1.1 线程划分与任务分配

多线程快速排序的核心在于将原问题分解为多个子问题,并且并行地解决这些子问题。在快速排序中,线程划分主要依赖于递归的分解策略。一个分区操作完成后,会得到一个基准元素和两个子数组。这两个子数组可以被分配给不同的线程进行排序,从而实现并行处理。

为了有效地划分任务,需要解决两个关键问题:如何高效地选择基准元素和如何合理地分配任务给不同的线程。

  1. // 示例:划分数组,并返回基准元素的位置
  2. int partition(int arr[], int low, int high) {
  3. // 这里选择一个基准值,并围绕它进行分区操作
  4. int pivot = arr[high]; // 基准值选择为当前分区的最后一个元素
  5. int i = (low - 1); // i是小于基准值的元素的索引
  6. for (int j = low; j <= high- 1; j++) {
  7. // 如果当前元素小于或等于基准值
  8. if (arr[j] <= pivot) {
  9. i++; // 增加小于基准值的元素的索引
  10. swap(&arr[i], &arr[j]);
  11. }
  12. }
  13. swap(&arr[i + 1], &arr[high]);
  14. return (i + 1);
  15. }

4.1.2 同步机制与线程安全

在多线程环境下,线程间的同步机制是确保程序正确执行的关键。快速排序的并行版本需要确保共享数据的访问是线程安全的。这通常涉及到互斥锁(mutexes)或其他同步机制,以避免数据竞争和条件竞争。

为了最小化线程间的同步开销,可以采用无锁编程技术,如原子操作,或者使用特定的并发数据结构。此外,减少线程创建和销毁的开销,合理地设置线程池的大小,也是提高并行效率的重要手段。

4.2 实用并行快速排序算法

4.2.1 递归分割的并行化

传统的快速排序是递归的,每个递归调用实际上可以被看作是一个任务,可以分配给不同的线程。并行快速排序的实现就是将这些任务并行化。在实际的算法实现中,当数组的大小超过一定阈值时,可以启动新的线程来处理排序任务。如果数组较小,则直接使用串行排序算法完成排序,以避免线程创建和管理的开销。

  1. void parallelQuickSort(int arr[], int low, int high, int threshold) {
  2. if (high - low < threshold) {
  3. serialQuickSort(arr, low, high); // 当数组大小小于阈值时使用串行排序
  4. } else {
  5. int pivotIndex = partition(arr, low, high);
  6. parallelQuickSort(arr, low, pivotIndex - 1, threshold); // 并行递归排序左子数组
  7. parallelQuickSort(arr, pivotIndex + 1, high, threshold); // 并行递归排序右子数组
  8. }
  9. }

4.2.2 工作窃取模型的应用

在并行快速排序的执行过程中,可能会出现某些线程提前完成任务,而其他线程仍在忙碌的情况。工作窃取模型允许空闲的线程从忙碌线程的工作队列中窃取任务来执行,从而减少线程的等待时间并提高整体的并行效率。

工作窃取模型的关键在于实现一个线程安全的任务队列,并在窃取任务时采取合适的策略。任务队列的实现需要支持高效的入队、出队操作,以减少线程间同步的开销。

出队
出队
空闲
窃取任务
窃取任务
工作队列
线程1
执行任务
线程2
执行任务
线程3

工作窃取模型中的线程通过竞争来访问任务队列,如果一个线程发现队列为空,则会尝试从其他线程的队列中窃取任务。这种方式可以有效利用系统中的所有计算资源,提高排序效率。

在本章中,我们讨论了快速排序并行化改进的理论基础和实际应用。通过合理的任务划分、高效的线程同步机制、以及工作窃取模型的应用,可以显著提高排序算法在大规模数据处理上的性能。在下一章中,我们将探讨快速排序与归并排序之间的比较,以及它们在不同场景下的应用。

5. 快速排序与归并排序的比较

5.1 理论比较

5.1.1 时间复杂度分析

快速排序和归并排序都是分而治之的排序算法,在平均情况下提供 O(n log n) 的时间复杂度。然而,它们在最坏情况下的表现截然不同。快速排序在最坏的情况下,时间复杂度会退化到 O(n^2),尤其是在处理已经有序或接近有序的数据集时。为了避免这种情况,快速排序通常需要结合优化技巧,例如随机化基准值或三数取中法。

相比之下,归并排序通过分割数据集为最小单元后逐步合并的方式,确保了在任何情况下都能保持 O(n log n) 的时间复杂度。它不会受到输入数据的影响,因此在稳定性方面表现更佳。但请注意,归并排序需要额外的存储空间,其空间复杂度为 O(n)。

5.1.2 空间复杂度对比

快速排序在原地排序算法中表现优越,其空间复杂度为 O(log n)。由于其递归的本质,快速排序在栈空间上的开销相对较低,尤其在递归的优化如尾递归的情况下。

归并排序则不然,它需要与原数据集等量的额外空间来完成合并操作,因此空间复杂度为 O(n)。在处理大数据集时,这可能成为一项不容忽视的开销。

5.2 实践对比

5.2.1 不同场景下的性能测试

在实际应用中,快速排序在大多数情况下比归并排序要快。快速排序的平均性能优秀,尤其是在数据量不是非常大的情况下。但由于其最坏情况时间复杂度的存在,一些实际应用场景可能会选择归并排序,尤其是在数据量较大且对性能要求非常稳定的情况下。

进行性能测试时,通常会使用随机数据集、几乎有序的数据集以及完全逆序的数据集。测试结果显示,在随机数据集上快速排序表现良好,而在几乎有序或完全逆序的数据集上,使用优化的快速排序也能够接近或达到归并排序的性能。

5.2.2 实际应用中的选择依据

在实际应用中选择排序算法应考虑多方面因素,包括但不限于数据规模、数据的初始状态、时间复杂度、空间复杂度以及系统资源限制等。

对于小型数据集,两者性能差异不大,可以基于个人或团队的偏好来选择。对于大型数据集,如果系统资源允许,优先考虑归并排序。如果内存资源较为紧张,可以考虑使用优化后的快速排序,尤其是当数据初始状态不确定时。

快速排序和归并排序各有千秋,最终的选择应以应用需求、性能测试结果和资源限制为依据。

下表展示了快速排序与归并排序在不同场景下的性能对比:

排序算法 平均情况时间复杂度 最坏情况时间复杂度 空间复杂度 特点
快速排序 O(n log n) O(n^2) O(log n) 原地排序,平均效率高
归并排序 O(n log n) O(n log n) O(n) 稳定排序,非原地排序

在实践中,归并排序的稳定性让它在需要保持相同元素相对位置的应用场景下更具优势。快速排序则因其在大多数场景下的高性能和内存效率而更受欢迎。

以下是快速排序和归并排序在特定条件下的代码示例:

  1. # 快速排序的 Python 实现
  2. def quick_sort(arr):
  3. if len(arr) <= 1:
  4. return arr
  5. pivot = arr[len(arr) // 2]
  6. left = [x for x in arr if x < pivot]
  7. middle = [x for x in arr if x == pivot]
  8. right = [x for x in arr if x > pivot]
  9. return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)
  10. # 归并排序的 Python 实现
  11. def merge_sort(arr):
  12. if len(arr) <= 1:
  13. return arr
  14. mid = len(arr) // 2
  15. left = merge_sort(arr[:mid])
  16. right = merge_sort(arr[mid:])
  17. return merge(left, right)
  18. def merge(left, right):
  19. result = []
  20. i = j = 0
  21. while i < len(left) and j < len(right):
  22. if left[i] < right[j]:
  23. result.append(left[i])
  24. i += 1
  25. else:
  26. result.append(right[j])
  27. j += 1
  28. result.extend(left[i:])
  29. result.extend(right[j:])
  30. return result

通过上述代码,我们可以看出快速排序与归并排序在实现上的不同。快速排序在分割数组时使用了条件判断,而归并排序在合并数组时进行了迭代。

对于这两种排序算法的选择,关键在于理解它们的适用场景。快速排序在大多数实际情况下运行速度快,特别是在处理中等规模的数据集时。而归并排序则在大数据集上提供更可预测的性能,尤其是在并行处理和稳定性上具有优势。在内存使用方面,快速排序通常更加高效,归并排序需要较多的额外空间。因此,在选择排序算法时,应根据实际应用需求、数据集的大小和特性、以及资源限制做出决策。

6. 快速排序的实践应用

快速排序算法在实际编程中有着广泛的应用,它不仅高效而且灵活,能够适应多种不同的数据处理场景。本章将详细探讨快速排序的实践应用,包括如何在编程中实现快速排序,以及快速排序变种在特定数据集优化和与其他算法结合的数据处理流程中的应用。

6.1 实际编程中的快速排序实现

6.1.1 标准库中的快速排序函数

在多数编程语言的标准库中,快速排序通常是内置的排序函数。例如,在C++的STL库中,std::sort可以采用快速排序算法(或其他排序算法,取决于数据特性)。同样,Python的内置函数sorted()和列表方法list.sort()也使用了TimSort,这是快速排序的变种。

实现快速排序的基本步骤如下:

  1. 选择一个基准值。
  2. 通过一次遍历数组,将所有比基准值小的元素移动到基准值的左边,比基准值大的移动到右边。
  3. 递归地对左右两部分数组重复这个过程。

例如,Python中自定义快速排序的代码如下:

  1. def quicksort(arr):
  2. if len(arr) <= 1:
  3. return arr
  4. pivot = arr[len(arr) // 2]
  5. left = [x for x in arr if x < pivot]
  6. middle = [x for x in arr if x == pivot]
  7. right = [x for x in arr if x > pivot]
  8. return quicksort(left) + middle + quicksort(right)
  9. print(quicksort([3,6,8,10,1,2,1]))
  10. # 输出: [1, 1, 2, 3, 6, 8, 10]

6.1.2 自定义快速排序的注意事项

在自定义快速排序算法时,需要注意以下几个重要的实现细节:

  • 选择合适的基准值:基准值的选择直接影响到排序的效率。前文提到的随机化基准值选择和三数取中法都是不错的选择。
  • 小数组优化:对于较小的数组,插入排序可能会更高效。当数组小到一定程度时,切换到插入排序算法可以获得性能提升。
  • 尾递归优化:在快速排序的递归实现中,尽量减少递归调用栈的深度,可以避免不必要的栈溢出风险。

6.2 快速排序变种的应用场景

6.2.1 用于特定数据集的优化

快速排序的变种在处理特定类型的数据集时,可以进行针对性的优化。例如,在处理大量重复元素的数据集时,三路快速排序(3-way quicksort)会是一个更好的选择。它将数组分为三个部分:小于基准值、等于基准值和大于基准值,从而避免在存在大量重复元素时不必要的元素交换。

6.2.2 结合其他算法的数据处理流程

快速排序也可以与其他算法结合,以优化整个数据处理流程。例如,在大数据集的排序中,可以先使用计数排序预处理键值,将键值限定在一个较小的范围内,再使用快速排序对限定范围内的数据进行排序,这样可以提高整体效率。

  1. # 假设键值范围较小,可以先进行计数排序预处理
  2. def counting_sort(arr, max_value):
  3. count = [0] * (max_value + 1)
  4. for num in arr:
  5. count[num] += 1
  6. return [i for i in range(max_value + 1) for _ in range(count[i])]
  7. # 假设数据已经被预处理到较小范围内
  8. def optimized_quicksort(arr, low, high):
  9. if low < high:
  10. pivot_index = partition(arr, low, high)
  11. optimized_quicksort(arr, low, pivot_index - 1)
  12. optimized_quicksort(arr, pivot_index + 1, high)
  13. def partition(arr, low, high):
  14. pivot = arr[high]
  15. i = low - 1
  16. for j in range(low, high):
  17. if arr[j] <= pivot:
  18. i += 1
  19. arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
  20. arr[i + 1], arr[high] = arr[high], arr[i + 1]
  21. return i + 1
  22. # 示例
  23. arr = [4, 5, 3, 2, 5, 1, 10, 8]
  24. max_value = max(arr)
  25. arr = counting_sort(arr, max_value)
  26. optimized_quicksort(arr, 0, len(arr) - 1)
  27. print(arr)
  28. # 输出排序后数组

通过以上示例,我们可以看到快速排序算法在实际应用中的灵活性和强大功能。通过各种优化技术,我们可以使得快速排序更加适应特定的需求和数据特点,从而发挥出它的最大效能。

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