确保FFT算法的准确性：精度评估探究算法误差

# 1. 快速傅里叶变换（FFT）算法概述

快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）。DFT 将时域信号转换为频域信号，揭示了信号的频率成分。FFT 通过将 DFT 分解为一系列较小的、更简单的计算，大大提高了 DFT 的计算效率。

FFT 算法利用了傅里叶变换的周期性和对称性，将一个长度为 N 的 DFT 分解为 log2(N) 个长度为 2 的 DFT。通过递归地应用这一分解，FFT 将 DFT 的计算复杂度从 O(N²) 降低到 O(N log N)。

# 2. FFT算法精度评估

### 2.1 精度评估指标

**2.1.1 绝对误差和相对误差**

* **绝对误差：**原始信号与FFT重建信号之间的差值。
* **相对误差：**绝对误差与原始信号幅度的比值。

**2.1.2 信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）**

* **信噪比（SNR）：**原始信号功率与噪声功率之比。
* **峰值信噪比（PSNR）：**原始信号最大值与噪声功率之比。

### 2.2 误差来源分析

**2.2.1 有限精度计算**

* FFT算法涉及大量的浮点运算，有限的精度会导致舍入误差。
* 舍入误差累积会影响FFT重建信号的精度。

**2.2.2 截断误差**

* FFT算法将连续信号截断为有限长度的离散序列。
* 截断会导致频谱泄漏，影响FFT重建信号的频谱特性。

**2.2.3 量化误差**

* FFT算法将信号幅度量化为有限的位数。
* 量化误差会引入噪声，影响FFT重建信号的动态范围。

### 代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
x = np.sin(2 * np.pi * 100 * np.linspace(0, 1, 1000))

# FFT计算
X = np.fft.fft(x)

# FFT重建信号
x_fft = np.fft.ifft(X)

# 计算绝对误差
abs_error = np.abs(x - x_fft)

# 计算相对误差
rel_error = abs_error / np.abs(x)

# 计算信噪比
snr = 10 * np.log10(np.sum(x**2) / np.sum(abs_error**2))

# 计算峰值