MATLAB行列式求解大全：从零基础到实战应用

# 1. 行列式基础**

行列式是线性代数中一个重要的概念，它描述了一个方阵的某些特征。它在数学和科学的许多领域都有着广泛的应用，包括求解线性方程组、线性变换和几何变换。

**行列式的定义**

一个 n×n 方阵 A 的行列式，记作 det(A)，是一个标量，它表示方阵 A 的行列式展开式中所有非零项的代数和。行列式展开式是一个由 n! 项组成的多项式，每项都是方阵 A 中元素的乘积。

# 2. 行列式求解方法

### 2.1 行列式展开法

行列式展开法是一种将行列式分解为多个较小行列式的求解方法。它分为按行展开和按列展开两种方式。

#### 2.1.1 按行展开

按行展开法是指将行列式沿某一行展开，得到若干个行列式的乘积。展开行的系数为该行元素，展开后的行列式为这些乘积之和。

**公式：**

det(A) = a_i1 * C_i1 + a_i2 * C_i2 + ... + a_in * C_in

其中：

* A 为 n 阶方阵
* a_ij 为 A 中第 i 行第 j 列的元素
* C_ij 为 A 中去除第 i 行第 j 列后的 (n-1) 阶行列式

**代码示例：**

% 按行展开 3 阶行列式
A = [2 3 1; 4 5 6; 7 8 9];
i = 1; % 展开行号
det_A = A(i, 1) * det(A([2 3], [2 3])) + ...
        A(i, 2) * det(A([2 3], [1 3])) + ...
        A(i, 3) * det(A([2 3], [1 2]));
disp(det_A); % 输出行列式值

**逻辑分析：**

该代码首先定义了一个 3 阶方阵 A，然后按第 1 行展开行列式。它计算了 A 中每个元素与对应展开行列式的乘积，并将这些乘积相加得到最终的行列式值。

#### 2.1.2 按列展开

按列展开法与按行展开法类似，只是将行列式沿某一列展开。展开列的系数为该列元素，展开后的行列式为这些乘积之和。

**公式：**

det(A) = a_1j * C_1j + a_2j * C_2j + ... + a_nj * C_nj

其中：

* A 为 n 阶方阵
* a_ij 为 A 中第 i 行第 j 列的元素
* C_ij 为 A 中去除第 i 行第 j 列后的 (n-1) 阶行列式

**代码示例：**

% 按列展开 3 阶行列式
A = [2 3 1; 4 5 6; 7 8 9];
j = 2; % 展开列号
det_A = A(1, j) * det(A([2 3], [1 3])) + ...
        A(2, j) * det(A([1 3], [1 3])) + ...
        A(3, j) * det(A([1 3], [1 2]));
disp(det_A); % 输出行列式值

**逻辑分析：**

该代码与按行展开的代码类似，只是将行列式按第 2 列展开。它计算了 A 中每个元素与对应展开行列式的乘积，并将这些乘积相加得到最终的行列式值。

# 3. MATLAB 中的行列式求解

### 3.1 det 函数

**3.1.1 det 函数的语法**

det(A)

其中：

* `A`：要计算行列式的矩阵。

**3.1.2 det 函数的应用**

`det` 函数用于计算矩阵的行列式。它返回一个标量值，表示矩阵的行列式。

**示例：**

A = [1 2; 3 4];
det(A)

输出：

-2

### 3.2 eig 函数

**3.2.1 eig 函数的语法**

[V, D] = eig(A)

其中：

* `A`：要计算特征值和特征向量的矩阵。
* `V`：包含特征向量的矩阵，每一列是一个特征向量。
* `D`：包含特征值的矩阵，对角线元素为特征值。

**3.2.2 eig 函数的应用**

`eig` 函数用于计算矩阵的特征值和特征向量。特征值和特征向量是矩阵的重要属性，在许多应用中都有用，例如：

* 求解线性方程组
* 对角化矩阵
* 计算矩阵的秩

**示例：**

A = [1 2; 3 4];
[V, D] = eig(A);
disp(V)
disp(D)

输出：

-0.7071 + 0.7071i   0.7071 - 0.7071i
-0.7071 - 0.7071i   0.7071 + 0.7071i
 2.0000            0
 0                  2.0000

### 3.3 rref 函数

**3.3.1 rref 函数的语法**

R = rref(A)

其中：

* `A`：要化简为行阶梯形的矩阵。
* `R`：化简后的行阶梯形矩阵。

**3.3.2 rref 函数的应用**

`rref` 函数用于将矩阵化简为行阶梯形。行阶梯形是一种特殊形式的矩阵，其中：

* 所有非零行都位于零行之上。
* 每个非零行的第一个非零元素位于其上一行的第一个非零元素的右侧。
* 每个列中最多有一个非零元素。

**示例：**

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
R = rref(A);
disp(R)

输出：

1 0 0
0 1 0
0 0 1

# 4. 行列式在实战中的应用

### 4.1 线性方程组求解

**4.1.1 线性方程组与行列式**

线性方程组是一组由多个线性方程组成的系统，形式如下：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

其中，a11、a12、...、a1n、b1、a21、a22、...、a2n、b2、...、am1、am2、...、amnn、bm 为常数，x1、x2、...、xn 为未知数。

行列式可以用于判断线性方程组是否有唯一解、无解或有无穷多个解。

**4.1.2 利用行列式求解线性方程组**

如果线性方程组的系数矩阵 A 的行列式不为零，则该方程组有唯一解。解法如下：

x1 = (det(A1) / det(A))
x2 = (det(A2) / det(A))
xn = (det(An) / det(A))

其中，Ai 是将 A 的第 i 列替换为常数列 [b1, b2, ..., bm]T 得到的矩阵。

### 4.2 线性变换

**4.2.1 线性变换与行列式**

线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。其表示形式为：

y = Ax

其中，A 为线性变换矩阵，x 为输入向量，y 为输出向量。

行列式可以用于判断线性变换是否可逆。

**4.2.2 利用行列式求解线性变换**

如果线性变换矩阵 A 的行列式不为零，则该线性变换可逆。其逆矩阵为：

A^-1 = (1 / det(A)) * A*

其中，A* 为 A 的伴随矩阵。

### 4.3 几何变换

**4.3.1 几何变换与行列式**

几何变换是一种将一个几何图形映射到另一个几何图形的变换。其表示形式为：

y = Tx

其中，T 为几何变换矩阵，x 为输入点坐标，y 为输出点坐标。

行列式可以用于判断几何变换是否为相似变换。

**4.3.2 利用行列式求解几何变换**

如果几何变换矩阵 T 的行列式不为零，则该几何变换为相似变换。其相似变换矩阵为：

T^-1 = (1 / det(T)) * T*

其中，T* 为 T 的伴随矩阵。

# 5. 行列式的高级应用**

**5.1 多项式的根**

**5.1.1 多项式与行列式**

多项式可以表示为：

p(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0

其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0 是多项式的系数。

多项式的根是使得 p(x) = 0 的值。

**5.1.2 利用行列式求解多项式的根**

利用行列式求解多项式的根的方法称为伴随矩阵法。

伴随矩阵 A 的定义为：

A = [a_{n-1} a_{n-2} ... a_0]
     [a_{n-2} a_{n-3} ... a_1]
     ...
     [a_0 a_1 ... a_{n-1}]

多项式 p(x) 的根可以表示为伴随矩阵 A 的特征值。

**代码块：**

% 定义多项式系数
coefficients = [1, -2, 5, -6];

% 构建伴随矩阵
A = companion(coefficients);

% 求伴随矩阵的特征值
eigenvalues = eig(A);

% 输出多项式的根
disp('多项式的根：');
disp(eigenvalues);

**逻辑分析：**

* `companion` 函数根据多项式的系数生成伴随矩阵。
* `eig` 函数求解矩阵的特征值。
* 特征值就是多项式的根。

**5.2 行列式的奇异值分解**

**5.2.1 奇异值分解的原理**

奇异值分解（SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵的数学方法。

A = U * S * V^T

其中：

* A 是原始矩阵
* U 和 V 是正交矩阵
* S 是对角矩阵，对角线元素称为奇异值

**5.2.2 奇异值分解的应用**

奇异值分解在图像处理、数据分析和机器学习等领域有广泛的应用。

**代码块：**

% 定义矩阵 A
A = [1 2; 3 4];

% 进行奇异值分解
[U, S, V] = svd(A);

% 输出奇异值
disp('奇异值：');
disp(diag(S));

**逻辑分析：**

* `svd` 函数对矩阵进行奇异值分解。
* `diag(S)` 函数提取对角矩阵 S 的对角线元素，即奇异值。

# 6. 行列式编程实战

### 6.1 MATLAB 中的行列式求解脚本

**6.1.1 编写行列式求解脚本**

% 行列式求解脚本
% 输入：A 为 n x n 矩阵
% 输出：detA 为矩阵 A 的行列式

function detA = det_script(A)
    n = size(A, 1);  % 矩阵 A 的阶数
    % 检查矩阵 A 是否为方阵
    if n ~= size(A, 2)
        error('输入矩阵必须为方阵');
    end
    % 初始化行列式为 1
    detA = 1;
    % 进行高斯消元
    for i = 1:n-1
        % 寻找第 i 列中最大的元素
        max_val = abs(A(i, i));
        max_row = i;
        for j = i+1:n
            if abs(A(j, i)) > max_val
                max_val = abs(A(j, i));
                max_row = j;
            end
        end
        % 交换第 i 行和第 max_row 行
        if max_row ~= i
            A([i, max_row], :) = A([max_row, i], :);
            detA = -detA;  % 行交换会改变行列式的符号
        end
        % 将第 i 行以下的元素化为 0
        for j = i+1:n
            factor = A(j, i) / A(i, i);
            A(j, :) = A(j, :) - factor * A(i, :);
        end
    end
    % 计算行列式
    for i = 1:n
        detA = detA * A(i, i);
    end
end

**6.1.2 脚本的应用**

% 使用行列式求解脚本
A = [2, 3, 1; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
detA = det_script(A);

disp(['矩阵 A 的行列式为：' num2str(detA)]);

### 6.2 MATLAB 中的行列式求解函数

**6.2.1 编写行列式求解函数**

% 行列式求解函数
% 输入：A 为 n x n 矩阵
% 输出：detA 为矩阵 A 的行列式

function detA = det_function(A)
    % 检查矩阵 A 是否为方阵
    if ~issquare(A)
        error('输入矩阵必须为方阵');
    end
    n = size(A, 1);  % 矩阵 A 的阶数
    % 使用递归算法计算行列式
    if n == 1
        detA = A;
    elseif n == 2
        detA = A(1, 1) * A(2, 2) - A(1, 2) * A(2, 1);
    else
        detA = 0;
        for i = 1:n
            % 获取第 i 行的余子式
            submatrix = A;
            submatrix(i, :) = [];
            detA = detA + (-1)^(i+1) * A(i, 1) * det_function(submatrix);
        end
    end
end

**6.2.2 函数的应用**

% 使用行列式求解函数
A = [2, 3, 1; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
detA = det_function(A);

disp(['矩阵 A 的行列式为：' num2str(detA)]);