MATLAB微分方程求解的误差迷局：揭示精度和稳定性的秘密

# 1. 微分方程求解简介

微分方程是一种数学方程，它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。微分方程在科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。MATLAB 是一种强大的数值计算环境，它提供了多种求解微分方程的工具。

微分方程的求解通常涉及到使用数值方法，这些方法将微分方程离散化为一组代数方程。MATLAB 中常用的数值方法包括显式方法、隐式方法和半隐式方法。这些方法的原理和特点将在第二章中详细讨论。

# 2. MATLAB 中微分方程求解器的理论基础

### 2.1 数值方法概述

微分方程求解器通过数值方法将微分方程转化为离散方程组，再通过求解方程组来近似得到微分方程的解。常用的数值方法包括：

- **显式方法：**根据当前时刻的状态计算下一时刻的状态，计算公式不涉及下一时刻的状态，如欧拉法、改进欧拉法。
- **隐式方法：**根据当前时刻和下一时刻的状态计算下一时刻的状态，计算公式涉及下一时刻的状态，如后向欧拉法、隐式中点法。
- **半隐式方法：**介于显式方法和隐式方法之间，计算公式部分涉及下一时刻的状态，如 Crank-Nicolson 法。

### 2.2 常用求解方法的原理和特点

#### 2.2.1 显式方法

**原理：**根据当前时刻的解 `y(t_n)` 和导数 `y'(t_n)`，计算下一时刻的解 `y(t_{n+1})`:

y(t_{n+1}) = y(t_n) + h * y'(t_n)

**特点：**

- 计算简单，效率高。
- 稳定性较差，容易产生振荡或发散。

#### 2.2.2 隐式方法

**原理：**根据当前时刻和下一时刻的解，计算下一时刻的导数 `y'(t_{n+1})`:

y'(t_{n+1}) = (y(t_{n+1}) - y(t_n)) / h

**特点：**

- 稳定性好，收敛速度快。
- 计算复杂，效率低。

#### 2.2.3 半隐式方法

**原理：**将微分方程拆分为显式部分和隐式部分，分别用显式方法和隐式方法求解：

y_e(t_{n+1}) = y(t_n) + h