数值积分在计算机图形学中的应用：渲染和动画的幕后功臣

# 1. 数值积分基础**

数值积分是一种数学技术，用于计算积分。积分是函数在给定区间下的面积，在计算机图形学中，它用于计算光线和表面之间的相互作用、运动模糊和粒子系统的运动。

数值积分算法通过将积分区间划分为较小的子区间，然后对每个子区间进行求和来近似积分值。常用的数值积分算法包括梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。

选择合适的数值积分算法取决于积分函数的复杂性和所需的精度。梯形法则和辛普森法则适用于平滑的函数，而高斯求积法适用于具有尖锐或不连续性的函数。

# 2. 数值积分在渲染中的应用

数值积分在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，尤其是在渲染和动画中。它提供了计算复杂光照和运动效果所需的数学基础。

### 2.1 光线追踪中的积分

光线追踪是一种逼真的渲染技术，它通过模拟光线在场景中的传播来生成图像。数值积分在光线追踪中至关重要，因为它允许我们计算光线与场景中对象之间的交互。

#### 2.1.1 光线方程和渲染方程

光线方程描述了光线在场景中的传播，而渲染方程则描述了场景中每个点的颜色。渲染方程可以通过光线方程进行求解，其中涉及到对光线方向和场景几何的积分。

L(x, ω) = Le(x, ω) + ∫f(x, ω, ω') L(x', ω') (ω'·n) dA

* L(x, ω)：点x在方向ω上的出射光照度
* Le(x, ω)：点x在方向ω上的自发光照度
* f(x, ω, ω')：BRDF（双向反射分布函数）
* L(x', ω')：点x'在方向ω'上的入射光照度
* ω'·n：点x'上的法线和入射光线方向ω'的点积
* dA：点x'的微分面积

#### 2.1.2 蒙特卡罗积分在光线追踪中的应用

蒙特卡罗积分是一种随机采样技术，用于计算光线方程中的积分。它通过生成随机光线样本并对这些样本进行平均来估计积分值。

import random

def monte_carlo_integral(f, a, b, n):
    """
    使用蒙特卡罗积分计算函数f在[a, b]上的积分。

    参数：
    f：要积分的函数
    a：积分下限
    b：积分上限
    n：样本数量

    返回：
    积分值估计
    """
    total = 0
    for _ in range(n):
        x = random.uniform(a, b)
        total += f(x)
    return (b - a) * total / n

### 2.2 全局光照中的积分

全局光照（GI）考虑了场景中所有光源之间的交互，从而产生更逼真的渲染结果。数值积分在GI中用于计算漫反射和镜面反射以及间接光照。

#### 2.2.1 漫反射和镜面反射的积分

漫反射和镜面反射描述了光线与表面交互的不同方式。漫反射积分计算光线在表面上漫反射后的出射光照度，而镜面反射积分计算光线在表面上镜面反射后的出射光照度。

L(x, ω) = ∫f(x, ω, ω') L(x', ω') (ω'·n) dA

* L(x, ω)：点x在方向ω上的出射光照度
* f(x, ω, ω')：BRDF（双向反射分布函数）
* L(x', ω')：点x'在方向ω'上的入射光照度
* ω'·n：点x'上的法线和入射光线方向ω'的点积
* dA：点x'的微分面积

#### 2.2.2 间接光照的计算

间接光照是指从场景中其他表面反射到目标表面上的光照。数值积分用于计算间接光照，其中涉及到对光线路径和场景几何的积分。

L(x, ω) = ∫f(x, ω, ω') L(x', ω') (ω'·n) dA

* L(x, ω)：点x在