MATLAB非线性规划中的全局优化：应对非凸问题的求解挑战

# 1. 非线性规划简介**

非线性规划（NLP）是数学优化领域的一个分支，它涉及求解具有非线性目标函数和约束条件的优化问题。NLP 广泛应用于各种实际问题中，例如工程设计、金融建模和机器学习。

与线性规划不同，NLP 问题通常是非凸的，这意味着目标函数可能具有多个局部最优解。因此，在求解 NLP 问题时，找到全局最优解（即所有局部最优解中最好的解）至关重要。

# 2. 全局优化理论**

**2.1 全局最优解的概念**

在非线性规划中，全局最优解是指在可行域内所有可行解中，目标函数值最优的解。与局部最优解不同，全局最优解不受局部极值或鞍点的限制。

**2.2 全局优化算法的分类**

全局优化算法可分为两大类：

- **确定性算法：**这些算法通过逐步逼近全局最优解来保证收敛，例如：

- 分支定界法
- 凸分解法

- **随机算法：**这些算法通过随机搜索来探索可行域，并通过迭代逐步提高解的质量，例如：

- 遗传算法
- 粒子群优化
- 模拟退火

# 3. 全局优化算法实践

### 3.1 遗传算法

#### 3.1.1 遗传算法的基本原理

遗传算法（GA）是一种启发式算法，它模拟了生物进化过程中的自然选择和遗传机制。GA的工作原理如下：

1. **初始化种群：**随机生成一组候选解，称为种群。
2. **评估适应度：**计算每个个体的适应度，它表示个体在解决目标问题方面的能力。
3. **选择：**根据适应度，选择最适合的个体进入下一代。
4. **交叉：**将两个选定的个体进行交叉，产生新的个体，称为后代。
5. **变异：**以一定概率对后代进行变异，引入新的遗传信息。
6. **重复：**重复步骤2-5，直到达到终止条件（例如，达到最大迭代次数或找到满足要求的解）。

#### 3.1.2 遗传算法在非线性规划中的应用

GA可以应用于非线性规划问题，通过以下步骤：

1. **编码：**将决策变量编码为二进制字符串或其他表示形式。
2. **适应度函数：**定义一个适应度函数，它衡量个体的目标函数值。
3. **选择：**使用轮盘赌选择或锦标赛选择等选择方法，选择最适合的个体。
4. **交叉：**使用单点交叉或多点交叉等交叉算子，产生新的个体。
5. **变异：**使用位翻转或高斯变异等变异算子，引入新的遗传信息。
6. **解码：**将解码后的个体转换为决策变量值。

% 定义目标函数
objectiveFunction = @(x) (x(1) - 5)^2 + (x(2) - 3)^2;

% 定义遗传算法参数
populationSize = 100;
maxGenerations = 100;
crossoverProbability = 0.8;
mutationProbability = 0.1;

% 初始化种群
population = rand(populationSize, 2) * 10;

% 遗传算法循环
for generation = 1:maxGenerations
    % 评估适应度
    fitness = 1 ./ objectiveFunction(population);
    % 选择
    selectedPopulation = selection(population, fitness);
    % 交叉
    newPopulation = crossover(selectedPopulation, crossoverProbability);
    % 变异
    newPopulation = mutation(newPopulation, mutationProbability);
    % 更新种群
    po