MATLAB非线性回归与机器学习：融合对比深度解读（技术融合指南）


参考资源链接：[Matlab多元非线性回归详解：polyfit, regress与nlinfit的区别与应用](https://wenku.csdn.net/doc/6515ax5gdx?spm=1055.2635.3001.10343)
# 1. MATLAB非线性回归基础

在本章中，我们将入门非线性回归的世界，并了解它在数据建模中的基础应用。非线性回归模型在处理现实世界复杂数据模式时，提供了强大的数据拟合能力，这超越了传统线性回归的局限性。

## 非线性回归的概念

非线性回归是统计建模的一种技术，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系，其中这种关系在数学上是呈现非线性的。例如，数据可能遵循指数或对数曲线等。与线性回归模型不同，非线性回归模型的参数通常不容易通过解析方法求解。

## 非线性回归的数学基础

非线性回归模型通常表示为 `y = f(x1, x2, ..., xn, β) + ε` 的形式，其中 `f` 是非线性函数，`β` 是未知参数的集合，`ε` 是误差项。模型的参数是通过最小化观测值和模型预测值之间的差异来估计的。

## MATLAB在非线性回归中的作用

MATLAB提供了一系列工具和函数，使得非线性回归变得简单而高效。利用MATLAB强大的数学计算能力和内置的优化工具箱，非线性回归分析和模型参数估计可以轻松完成，大大简化了研究人员的工作流程。

本章为后续章节的深入学习打下了坚实的基础。下一章，我们将深入探讨非线性回归模型的构建与实现，揭示在MATLAB中如何具体操作。

# 2. 非线性回归模型的构建与实现

## 2.1 非线性回归模型的理论基础

### 2.1.1 模型的选择与原理

非线性回归模型是统计建模中的一种技术，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的非线性关系。在选择模型时，通常会根据数据的特点和研究目标来确定。常见的非线性模型包括多项式回归、对数回归、指数回归和逻辑回归等。

多项式回归模型适用于关系曲线是弯曲的情况，例如，一个二次多项式回归模型可以表示为：
\[ y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \epsilon \]
其中，\( \beta \) 是系数，\( \epsilon \) 是误差项。

对数和指数回归模型常用于描述比率或者速度的变化，例如，对数线性模型可以表示为：
\[ \log(y) = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \]

逻辑回归模型常用于因变量是二分类的情况，其模型形式如下：
\[ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \]
其中，\( p \) 是事件发生的概率。

在选择模型时，要基于数据的分布和关系的性质进行，同时需要对模型的复杂度和预测能力进行平衡。

### 2.1.2 优化算法与参数估计

非线性回归的参数估计通常较为复杂，因为模型不具有线性系数的直接解，往往需要借助优化算法。常见的参数估计方法包括最小二乘法、极大似然估计和梯度下降法等。

最小二乘法的目标是最小化残差平方和，通过解析法或者数值方法来求解参数。在非线性回归中，由于模型的非线性性质，一般采用数值优化方法，如牛顿法和拟牛顿法。

梯度下降法是一种迭代方法，它通过计算损失函数关于参数的梯度，逐步更新参数，以达到最小化损失函数的目的。梯度下降法及其变种在处理大规模数据和复杂模型时特别有用。

为了实现模型参数的有效估计，选择合适的优化算法至关重要。算法的选择依赖于模型的复杂性、数据的规模以及计算资源等因素。在实际操作中，往往需要根据模型的具体情况和预测性能来调整优化算法的参数。

## 2.2 MATLAB实现非线性回归

### 2.2.1 利用内置函数的简单回归

MATLAB提供了一系列内置函数来帮助用户实现非线性回归，例如`fitnlm`函数。这个函数能够自动执行非线性最小二乘拟合，并返回非线性回归模型对象。使用起来非常方便。

以下是一个使用`fitnlm`的简单例子：

% 假设有一组数据x和y
x = linspace(1,10,100)';
y = 1.2*x.^2 + 0.5*x + randn(100,1);  % 带有随机噪声的二次函数

% 使用fitnlm进行非线性回归
nlm = fitnlm(x, y, 'y ~ x + x^2');

% 显示回归结果
disp(nlm);

这段代码中，`fitnlm`函数根据给定的公式`'y ~ x + x^2'`拟合了一个二次多项式回归模型。模型结果包含了系数估计、拟合优度、残差分析等统计信息。

### 2.2.2 自定义函数与算法的深度实现

当内置函数不能满足特定的需求时，可以通过自定义函数来实现更复杂的非线性回归模型。在MATLAB中，这通常涉及编写目标函数和优化算法。

以下是一个使用自定义函数进行非线性回归的例子：

% 定义一个目标函数，例如对数回归模型
myfun = @(b,x) b(1)*exp(b(2)*x) - y;

% 使用fminunc进行参数优化
xData = x;
yData = y;
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');
[beta, resnorm, residual, exitflag, output] = fminunc(@(b) myfun(b,xData), [1,0], options);

% 打印结果
disp('回归系数:');
disp(beta);
disp('残差平方和:');
disp(resnorm);

在这个例子中，我们定义了一个目标函数`myfun`来实现对数回归。然后使用MATLAB的优化函数`fminunc`来求解参数。`fminunc`函数的参数包括目标函数、参数初始值和优化选项。求解结果包括回归系数、残差平方和等。

## 2.3 模型评估与验证

### 2.3.1 模型的拟合度量

模型的拟合度量是评估回归模型预测能力的重要手段。常用的拟合度量指标包括决定系数（R²）、调整决定系数（Adjusted R²）、均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）等。

决定系数（R²）度量了模型解释因变量变异的能力，其值的范围从0到1，值越高表示模型拟合度越好。

调整决定系数考虑了模型中参数的个数，适用于比较不同复杂度的模型。

均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）是评价模型预测值与实际值差异的重要指标，值越小表示模型预测越准确。

在MATLAB中，可以使用`fitnlm`对象的`fitStatistics`属性获取这些统计量。例如：

% 假设nlm是之前创建的非线性回归模型对象
stats = nlm.fitStatistics;

% 提取R²、MSE等统计量
fprintf('决定系数: %.3f\n', stats.Rsquared.Ordinary);
fprintf('均方误差: %.3f\n', stats.MSE);

### 2.3.2 交叉验证与模型选择

交叉验证是一种常用的模型选择和评估技术，用于评估模型对未知数据的泛化能力。其基本思想是将数据集分成k个大小相等的子集，使用其中k-1个子集来训练模型，剩下的一个子集用于测试模型。重复k次，每次选择不同的训练集和测试集，最后计算平均性能作为模型性能的评估。

在MATLAB中，可以使用`crossval`函数来