深入理解数值计算原理：掌握MATLAB函数数值计算，提升函数精度

# 1. 数值计算基础**

数值计算是利用计算机求解数学问题的学科，其基础在于将连续的数学问题离散化为有限的计算步骤。离散化过程不可避免地引入误差，因此数值计算的精度和稳定性至关重要。

**1.1 数值误差**

数值误差分为截断误差和舍入误差。截断误差是由离散化过程造成的，而舍入误差是由计算机有限精度造成的。误差的分析和控制是数值计算中的关键问题。

**1.2 数值稳定性**

数值稳定性是指算法对输入数据微小扰动的敏感性。稳定的算法对输入扰动不敏感，而对输入扰动敏感的算法称为不稳定的算法。数值稳定性是算法选择和设计的重要考虑因素。

# 2. MATLAB函数数值计算**

**2.1 数值计算函数概述**

MATLAB提供丰富的数值计算函数，涵盖各类数值计算任务。

**2.1.1 常用数值计算函数**

| 函数 | 用途 |
|---|---|
| `abs()` | 计算绝对值 |
| `sqrt()` | 计算平方根 |
| `exp()` | 计算指数 |
| `log()` | 计算对数 |
| `sin()` | 计算正弦 |
| `cos()` | 计算余弦 |
| `tan()` | 计算正切 |
| `asin()` | 计算反正弦 |
| `acos()` | 计算反余弦 |
| `atan()` | 计算反正切 |

**2.1.2 函数精度与误差**

数值计算函数的精度受限于计算机浮点数表示的精度。MATLAB使用双精度浮点数，精度约为 15 位有效数字。

**2.2 线性方程组求解**

MATLAB提供多种线性方程组求解方法，包括直接法和迭代法。

**2.2.1 直接法与迭代法**

* **直接法：**一次性求解出所有未知数，如 `inv()`、`lu()`。
* **迭代法：**逐次逼近解，如 `jacobi()`、`gaussSeidel()`。

**2.2.2 求解算法与精度分析**

| 算法 | 特点 | 精度 |
|---|---|---|
| 高斯消元 | 稳定，但计算量大 | 高 |
| LU 分解 | 稳定，适用于稀疏矩阵 | 中 |
| 雅可比迭代 | 适用于对角占优矩阵 | 低 |
| 高斯-塞德尔迭代 | 适用于对角占优矩阵，收敛速度快于雅可比迭代 | 中 |

**2.3 非线性方程组求解**

非线性方程组求解需要使用迭代法。

**2.3.1 求根算法与收敛性**

| 算法 | 特点 | 收敛性 |
|---|---|---|
| 牛顿法 | 利用导数信息加速收敛 | 二次收敛 |
| 割线法 | 利用两点切线逼近根 | 线性收敛 |
| 二分法 | 在区间内不断缩小范围 | 线性收敛 |

**2.3.2 精