MATLAB数值计算技巧大全：优化算法与求解器详解

# 1. MATLAB数值计算基础

MATLAB是一种强大的数值计算环境，它提供了丰富的函数和工具，可以高效地解决各种数值计算问题。本章将介绍MATLAB数值计算的基础知识，包括数据类型、运算符、函数和脚本文件。

### 数据类型

MATLAB支持多种数据类型，包括：

- **标量：**单个数字值，如1、2.5、3i
- **向量：**一维数组，如[1, 2, 3]
- **矩阵：**二维数组，如[1, 2; 3, 4]
- **单元格数组：**可以存储不同类型数据的数组，如{'a', 1, [2, 3]}
- **结构体：**包含命名字段的复合数据类型，如struct('name', 'John', 'age', 30)

# 2. 优化算法

### 2.1 梯度下降法

#### 2.1.1 基本原理

梯度下降法是一种迭代算法，用于寻找函数的局部最小值。它的基本思想是沿着函数梯度的负方向迭代，每次迭代都朝着函数值下降的方向移动。梯度的方向指向函数值增加最快的方向，因此沿着梯度的负方向移动可以使函数值下降。

#### 2.1.2 算法实现

梯度下降法的算法步骤如下：

1. 给定一个初始点 x0。
2. 计算函数 f(x0) 的梯度 ∇f(x0)。
3. 沿着梯度的负方向移动一步：x1 = x0 - α∇f(x0)，其中 α 是步长。
4. 重复步骤 2 和 3，直到满足终止条件（例如，达到最大迭代次数或函数值变化幅度小于某个阈值）。

### 2.2 牛顿法

#### 2.2.1 原理介绍

牛顿法是一种二次收敛的优化算法，用于寻找函数的局部最小值。它的基本思想是利用函数的二阶导数信息来构造一个二次近似函数，然后求解二次近似函数的极值点作为下一次迭代的点。

#### 2.2.2 算法步骤

牛顿法的算法步骤如下：

1. 给定一个初始点 x0。
2. 计算函数 f(x0) 的梯度 ∇f(x0) 和海森矩阵 H(x0)。
3. 求解线性方程组 H(x0)p = -∇f(x0) 得到牛顿步长 p。
4. 沿着牛顿步长移动一步：x1 = x0 + p。
5. 重复步骤 2 和 3，直到满足终止条件。

### 2.3 共轭梯度法

#### 2.3.1 理论基础

共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解线性方程组。它的基本思想是构造一组共轭方向，然后沿着这些方向迭代，每次迭代都朝着残差向量（线性方程组的解与当前迭代点的差值）下降最快的方向移动。

#### 2.3.2 MATLAB实现

MATLAB 中提供了共轭梯度法求解线性方程组的函数 `pcg`。其语法如下：

x = pcg(A, b, tol, maxit)

其中：

* `A` 是系数矩阵。
* `b` 是右端向量。
* `tol` 是终止条件的容差。
* `maxit` 是最大迭代次数。

# 3.1 fminunc函数

**3.1.1 用法和参数**

fminunc函数用于求解无约束优化问题，即最小化一个标量函数。其语法格式如下：

x = fminunc(fun, x0, options)

其中：

* `fun`：目标函数，接受一个向量输入并返回一个标量输出。
* `x0`：初始猜测点，是一个列向量。
* `options`：优化选项，是一个可选参数，用于指定算法参数和终止条件。

fminunc函数支持以下优化选项：

| 选项 | 说明 |
|---|---|
| `Algorithm` | 优化算法，可选值包括'quasi-newton'（默认）、'trust-region-reflective'、'interior-point'等。 |
| `Display` | 显示优化过程信息，可选值包括'iter'（迭代信息）、'final'（最终结果）、'off'（不显示）。 |
| `FunctionTolerance` | 目标函数值变化的容忍度，当变化小于此值时，优化停止。 |
| `MaxFunEvals` | 目标函数的最大评估次数，超过此次数，优化停止。 |
| `MaxIter` | 优化算法的最大迭代次数，超过此次数，优化停止。 |
| `StepTolerance` | 优化步骤大小的变化容忍度，当变化小于此值时，优化停止。 |

**3.1.2 应用示例**

考虑以下优化问题：

最小化 f(x) = x^2 + 2x + 3

使用fminunc函数求解该问题：

% 定义目标函数
fun = @(x) x.^2 + 2*x + 3;

% 设置初始