泊松分布的模拟：生成随机变量的实用指南，让概率论触手可及

# 1. 泊松分布简介

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间间隔内发生的随机事件的次数。它以法国数学家西蒙·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在 1837 年首次描述了该分布。

泊松分布的概率质量函数（PMF）为：

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

其中：

* X 表示发生的事件次数
* λ 表示平均事件发生率
* k 表示非负整数

# 2. 泊松分布的理论基础

泊松分布是一种离散概率分布，它描述了在固定时间或空间间隔内发生随机事件的次数。泊松分布在许多实际应用中非常有用，例如，建模顾客到达、缺陷率和疾病传播。

### 2.1 泊松分布的定义和性质

泊松分布的概率质量函数为：

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!

其中：

* k 是非负整数，表示事件发生的次数。
* λ 是泊松分布的参数，表示单位时间或空间间隔内事件发生的平均次数。

泊松分布具有以下性质：

* **无记忆性：**事件发生的次数只取决于当前时间或空间间隔，与过去发生的事件无关。
* **独立性：**事件发生的次数相互独立。
* **单一性：**在给定的时间或空间间隔内，事件发生的次数只能是 0 或正整数。

### 2.2 泊松分布的概率质量函数和累积分布函数

泊松分布的概率质量函数描述了在单位时间或空间间隔内发生 k 次事件的概率。它由以下公式给出：

P(X = k) = (e^-λ * λ^k) / k!

泊松分布的累积分布函数描述了在单位时间或空间间隔内发生少于或等于 k 次事件的概率。它由以下公式给出：

P(X <= k) = Σ (e^-λ * λ^i) / i!

其中，i 从 0 到 k。

### 2.3 泊松分布的期望值和方差

泊松分布的期望值和方差都等于 λ。这表明，在单位时间或空间间隔内，事件发生的平均次数和方差相等。

# 3. 泊松分布的模拟方法

泊松分布的模拟方法有多种，常用的有逆变换法、接受-拒绝法和转换法。

### 3.1 逆变换法

**原理：**

逆变换法基于泊松分布的累积分布函数（CDF）的单调性。对于一个随机变量 X 服从泊松分布，其 CDF 为：

F(x) = P(X <= x) = 1 - e^(-λ(x+1))

其中，λ 为泊松分布的参数。

**算法步骤：**

1. 生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数 U。
2. 求解方程 F(x) = U，得到 x。
3. 返回 x 作为服从泊松分布的随机变量。

**代码示例：**

import numpy as np

def poisson_inverse_transform(lambda_):
  """
  使用逆变换法生成服从泊松分布的随机变量。

  参数：
    lambda_: 泊松分布的参数。

  返回：
    服从泊松分布的随机变量。
  """

  u = np.random.uniform()
  x = np.log(1 - u) / (-lambda_) - 1
  return x

**逻辑分析：**

* 第 1 行：生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数。
* 第 2 行：求解方程 F(x) = U，得到 x。
* 第 3 行：返回 x 作为服从泊松分布的随机变量。

### 3.2 接受-拒绝法

**原理：**

接受-拒绝法通过构造一个比泊松分布更宽的分布来生成泊松分布的随机变量。该分布称为提案分布。

**算法步骤：**

1. 选择一个提案分布，其概率密度函数（PDF）为 g(x)。
2. 计算泊松分布的 PDF 为 f(x)。
3. 对于每个 x，计算接受概率：

a(x) = min(1, f(x) / (c * g(x)))

其中，c 为常数，使得 a(x) <= 1。

4. 生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的随机数 U。
5. 如果 U <= a(x)，则接受 x 作为服从泊松分布的随机变量。否则，拒绝 x 并重新生成一个新的 x。

**代码示例：**

import numpy as np

def poisson_acceptance_rejection(lambda_):
  """
  使用接受-拒绝法生成服从泊松分布的随机变量。

  参数：
    lambda_: 泊松分布的参数。

  返回：
    服从泊松分布的随机变量。
  """

  # 提案分布：指数分布
  def g(x):
    return lambda_ * np.exp(-lambda_ * x)

  # 常数 c
  c = 1 / np.exp(1)

  while True:
    x = np.random.exponential(lambda_)
    u = np.random.uniform()
    a = min(1, np.exp(lambda_ - x))
    if u <= a:
      return x

**逻辑分析：**

* 第 1 行：定义提案分布 g(x)。
* 第 2 行：计算常数 c。
* 第 3 行：生成一个指数分布的随机变量。
* 第 4 行：生成一个均匀分布在 [0, 1] 之间的