二次规划在凸优化中的位置与作用

# 引言

## 凸优化基础知识

在凸优化领域中，凸集和凸函数是非常重要的基本概念。凸集是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段仍然在集合内，而凸函数则是指定义域上的函数图像位于函数上方的区域内。

### 凸集

- 凸集的定义：对于集合$C$，如果对于任意$a, b \in C$和任意$0 \leq \lambda \leq 1$，都有$\lambda a + (1-\lambda)b \in C$，那么集合$C$是凸集。

- 凸集的性质：凸集的交、仿射变换等操作后仍然是凸集。常见的凸集有线性空间、凸多面体等。

### 凸函数

- 凸函数的定义：对于定义域为$D$的函数$f(x)$，如果对于任意$a, b \in D$和任意$0 \leq \lambda \leq 1$，都有$f(\lambda a + (1-\lambda)b) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)$，那么函数$f(x)$是凸函数。

- 凸函数的性质：凸函数的下集为凸集，凸函数的各种运算规则（如非负线性组合、逐点上确界等）都能保持凸性。

凸优化问题的一般形式可以描述为：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad &f_0(x) \\
\text{subject to} \quad &f_i(x) \leq 0, \quad i=1,2,...,m \\
&h_i(x) = 0, \quad i=1,2,...,p
\end{align*}
$$
其中，$f_0(x)$是优化目标，$f_i(x) \leq 0$是不等式约束，$h_i(x) = 0$是等式约束。这种形式的问题即为凸优化问题的一般形式。

凸优化作为一种重要的优化方法，在实际工程和科学问题中有着广泛的应用。综上所述，凸优化的基础知识将为我们后续对凸二次规划和非凸二次规划的讨论打下基础。

### 三、二次规划基础

凸优化中的二次规划问题是一类重要的优化问题，它在实际应用中具有广泛的影响。在这一章节中，我们将介绍二次规划问题的定义、标准形式和非标准形式，以及二次规划问题的优化目标和约束条件。

#### 定义二次规划问题

二次规划（Quadratic Programming, QP）是指具有二次目标函数和线性约束条件的优化问题。其一般形式如下：

$$
\begin{aligned}
\text{minimize} \quad & \frac{1}{2}x^T P x + q^T x + r \\
\text{subject to} \quad & Gx \leq h \\
& A