MATLAB不定积分在机器学习中的应用：构建预测模型的基础

# 1. 机器学习中的不定积分**

不定积分在机器学习中扮演着至关重要的角色，它为构建预测模型奠定了基础。通过求解不定积分，我们可以获得概率分布的累积分布函数 (CDF)，从而计算出概率、期望值和方差等关键统计量。这些统计量对于理解数据分布、评估模型性能和预测未来事件至关重要。

在机器学习中，不定积分经常用于：

- 计算概率分布的累积分布函数 (CDF)，用于计算概率和生成随机样本。
- 计算期望值和方差，用于评估模型性能和度量数据分布的中心趋势和离散程度。
- 构建预测模型，例如线性回归和逻辑回归，通过求解损失函数的梯度来更新模型参数。

# 2. MATLAB 中的不定积分

### 2.1 基本函数和语法

MATLAB 提供了丰富的函数和语法来执行不定积分操作。最基本的函数是 `int()`，它用于计算给定函数在指定区间上的不定积分。其语法如下：

int(f, x, a, b)

其中：

* `f` 是要积分的函数。
* `x` 是积分变量。
* `a` 和 `b` 是积分的上下限。

例如，计算函数 `f(x) = x^2` 在区间 `[0, 1]` 上的不定积分：

>> int('x^2', x, 0, 1)
ans = 1/3

### 2.2 数值积分方法

MATLAB 提供了多种数值积分方法，用于计算给定函数在指定区间上的近似积分值。这些方法包括：

* **梯形法则：**将积分区间划分为相等宽度的子区间，并使用梯形公式近似每个子区间的积分。
* **辛普森法则：**类似于梯形法则，但使用二次多项式近似每个子区间的积分。
* **高斯求积法：**使用高斯求积点和权重来近似积分值。

这些方法的精度和效率各不相同，具体选择取决于积分函数的复杂性和所需精度。

### 2.3 符号积分技巧

对于某些简单的函数，MATLAB 可以使用符号积分技术计算精确的不定积分。这可以通过 `syms` 和 `int()` 函数结合使用来实现。

>> syms x;
>> int(x^2, x)
ans = x^3/3

符号积分对于解析求解积分非常有用，但对于复杂的函数可能不可行。

# 3.1 概率分布的积分

在机器学习中，概率分布是描述随机变量取值概率的函数。概率分布的积分在机器学习中有着广泛的应用，例如计算累积分布函数 (CDF)、计算期望值和方差等。

#### 累积分布函数 (CDF)

累积分布函数 (CDF) 是一个函数，它给出了随机变量小于或等于某个值的概率。CDF 的积分可以用来计算随机变量在某个区间内的概率。

% 定义正态分布的概率密度函数
mu = 0;
sigma = 1;
f = @(x) 1 / (sigma * sqrt(2 * pi)) * exp(-(x - mu)^2 / (2 * sigma^2));

% 计算在区间 [-1, 1] 内的概率
cdf_integral = integral(f, -1, 1);
disp(cdf_integral);  % 输出：0.6827

#### 期望值

期望值是随机变量的平均值。期望值可以通过