softmax的梯度计算与反向传播推导

# 1. **介绍**

- **背景与概述**
在神经网络中，Softmax 函数是一种常用的激活函数，用于多分类任务中输出各类别的概率分布。通过 Softmax 函数，我们可以将神经网络输出的原始分数转换为概率值，方便处理分类问题。
- **Softmax 函数概念**
Softmax 函数将实数转换为[0,1]之间的值，并使这些值相加总和为1，因此可以解释为概率分布。对于一组实数 $z = (z_1, z_2, ..., z_n)$，Softmax 函数的定义如下：

$$\sigma(z)_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{z_j}}$$

其中，$e^{z_i}$ 表示 $z_i$ 的指数（即 $e$ 的 $z_i$ 次方），$\sum_{j=1}^{n} e^{z_j}$ 为所有指数项的和，$\sigma(z)_i$ 表示第 $i$ 个元素经过 Softmax 函数后的输出值。

- **应用场景**
Softmax 函数常用于神经网络的输出层，特别适用于多分类任务，例如图像分类、自然语言处理中的命名实体识别等。通过 Softmax 函数，可以将神经网络输出的原始预测值转换为各类别的概率，便于进行分类决策。

# 2. Softmax 函数

Softmax 函数是一种常用的激活函数，特别适用于多分类问题。下面我们将介绍 Softmax 函数的定义和应用场景。

#### Softmax 函数定义

Softmax 函数可以将输入映射到概率分布上，通常用于多分类问题中。给定一个包含 $K$ 个类别的向量 $\mathbf{z}$，Softmax 函数的定义如下：

\text{Softmax}(\mathbf{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}}

其中，$i = 1, 2, ..., K$，$e^{z_i}$ 表示 $z_i$ 的指数，$\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}$ 是对所有类别的指数求和。Softmax 函数可以将输入转化为一个概率分布，使得每个类别的输出在 0 到 1 之间，并且所有类别的输出之和为 1。

#### Softmax 函数的作用与应用场景

Softmax 函数在神经网络中常用于最后一层的输出，用来表示每个类别的概率分布。它的作用包括：

- 将输出映射到概率空间，方便进行多分类任务的预测；
- 提供关于不同类别之间的相对权重信息；
- 在训练过程中结合交叉熵损失函数，帮助网络更新权重参数以实现更好的分类效果。

下面我们将通过代码示例来演示 Softmax 函数的计算过程。首先，我们定义一个包含多个类别分数的向量 $\mathbf{z}$：

import numpy as np

# 定义类别分数向量
z = np.array([2.0, 1.0, 0.1])

接下来，我们可以编写一个函数来计算 Softmax 函数的输出：

def softmax(z):
    exp_z = np.exp(z)
    return exp_z / np.sum(exp_z)

# 计算 Softmax 输出
softmax_output = softmax(z)
print(softmax_output)

以上代码演示了如何使用 Softmax 函数将输入向量转化为概率分布。接下来，我们将通过流程图来展示 Softmax 函数的计算过程：

graph LR
    A[z[类别分数向量 z]] --> B[计算 exp(z)]
    B --> C[求和 exp(z)]
    B --> D[计算 Softmax 输出]
    C --> D

通过以上示例，我们介绍了 Softmax 函数的定义、作用与应用场景，并通过代码和流程图展示了 Softmax 函数的计算过程。

# 3. Softmax 函数

- **Softmax 函数定义**

Softmax 函数是一种常用的多分类函数，用来将一个 K 维的实数向量映射到一个取值范围在 0 到 1 之间的 K 维实数向量。Softmax 函数的公式如下：

\[
\text{Softmax}(z)_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1