MATLAB积分应用与案例:数值积分在实际中的妙用
发布时间: 2024-05-24 15:56:13 阅读量: 31 订阅数: 16 ![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/col_vip.0fdee7e1.png)
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# 1. MATLAB数值积分简介
数值积分是一种近似计算积分值的方法,当解析积分难以求解时,数值积分提供了一种有效的替代方案。MATLAB提供了多种数值积分方法,包括梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。这些方法通过将积分区间划分为子区间,然后对每个子区间进行积分近似,从而得到积分的近似值。
# 2. 数值积分方法
### 2.1 梯形法则
#### 2.1.1 理论基础
梯形法则是一种数值积分方法,它将积分区间[a, b]划分为n个子区间[x_i, x_{i+1}], 其中x_i = a + ih, h = (b - a)/n。在每个子区间[x_i, x_{i+1}]上,函数f(x)近似为一条直线,其斜率为(f(x_{i+1}) - f(x_i))/h。因此,在[x_i, x_{i+1}]上的积分近似为:
```
∫[x_i, x_{i+1}] f(x) dx ≈ (f(x_i) + f(x_{i+1})) * h / 2
```
将所有子区间的近似积分相加,得到梯形法则的积分公式:
```
∫[a, b] f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(b))
```
#### 2.1.2 MATLAB实现
```matlab
% 梯形法则数值积分
function I = trapezoidal(f, a, b, n)
% 输入参数:
% f: 被积函数句柄
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% n: 子区间个数
% 计算步长
h = (b - a) / n;
% 计算积分值
I = h/2 * (f(a) + 2*sum(f(a+h:h:b-h)) + f(b));
end
```
### 2.2 辛普森法则
#### 2.2.1 理论基础
辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。它将积分区间[a, b]划分为n个偶数个子区间[x_i, x_{i+1}], 其中x_i = a + ih, h = (b - a)/n。在每个子区间[x_i, x_{i+1}]上,函数f(x)近似为一个二次抛物线,其系数通过插值得到。因此,在[x_i, x_{i+1}]上的积分近似为:
```
∫[x_i, x_{i+1}] f(x) dx ≈ h/6 * (f(x_i) + 4f((x_i + x_{i+1})/2) + f(x_{i+1}))
```
将所有子区间的近似积分相加,得到辛普森法则的积分公式:
```
∫[a, b] f(x) dx ≈ h/6 * (f(a) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(b))
```
#### 2.2.2 MATLAB实现
```matlab
% 辛普森法则数值积分
function I = simpson(f, a, b, n)
% 输入参数:
% f: 被积函数句柄
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% n: 子区间个数
% 检查子区间个数是否为偶数
if mod(n, 2) ~= 0
error('子区间个数必须为偶数');
end
% 计算步长
h = (b - a) / n;
% 计算积分值
I = h/6 * (f(a) + 4*sum(f(a+h:2*h:b-h)) + 2*sum(f(a+2*h:2*h:b-2*h)) + f(b));
end
```
### 2.3 高斯求积法
#### 2.3.1 理论基础
高斯求积法是一种基于正交多项式的数值积分方法。它将积分区间[a, b]映射到[-1, 1],并使用高斯-勒让德多项式作为权重函数。高斯求积法的积分公式为:
```
∫[a, b]
```
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