提升MATLAB线性方程组求解性能：加速求解效率

# 1. MATLAB线性方程组求解基础**

线性方程组是数学中常见的问题，在科学计算、图像处理等领域有着广泛的应用。MATLAB作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和算法来求解线性方程组。本章将介绍线性方程组求解的基础知识，包括基本概念、求解方法和MATLAB中的实现。

# 2. 线性方程组求解算法

线性方程组求解算法可分为两大类：直接求解法和迭代求解法。直接求解法通过有限次精确运算得到精确解，而迭代求解法通过不断逼近的方式逐步求解方程组。

### 2.1 直接求解法

直接求解法通过对系数矩阵进行一系列操作，将其化为上三角或对角矩阵，然后通过回代法求解方程组。

#### 2.1.1 高斯消去法

高斯消去法是一种经典的直接求解法。其基本思想是通过行变换（行交换、行加减）将系数矩阵化为上三角矩阵，然后通过回代法求解方程组。

**算法步骤：**

1. 将系数矩阵化为行阶梯形矩阵。
2. 从下往上，逐行回代求解变量。

**代码块：**

function x = gauss_elimination(A, b)
    % 高斯消去法求解线性方程组
    % 输入：系数矩阵A，右端项向量b
    % 输出：解向量x

    % 将系数矩阵化为行阶梯形矩阵
    [A, b] = rref([A, b]);

    % 回代求解变量
    n = size(A, 1);
    x = zeros(n, 1);
    for i = n:-1:1
        x(i) = (b(i) - A(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / A(i, i);
    end
end

**逻辑分析：**

* `rref` 函数将系数矩阵和右端项向量组合在一起，化为行阶梯形矩阵。
* 回代求解时，从最后一个方程开始，逐个求解变量。
* 每一步都将已求得的变量代入后续方程，直至求得所有变量。

#### 2.1.2 LU分解法

LU分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后利用LU分解求解方程组。

**算法步骤：**

1. 将系数矩阵分解为LU分解。
2. 求解Ly = b得到y向量。
3. 求解Ux = y得到解向量x。

**代码块：**

function x = lu_decomposition(A, b)
    % LU分解法求解线性方程组
    % 输入：系数矩阵A，右端项向量b
    % 输出：解向量x

    % LU分解
    [L, U] = lu(A);

    % 求解Ly = b
    y = L \ b;

    % 求解Ux = y
    x = U \ y;
end

**逻辑分析：**

* `lu` 函数将系数矩阵分解为LU分解。
* `\` 运算符用于求解三角方程组。
* 先求解Ly = b得到y向量，再求解Ux = y得到解向量x。

### 2.2 迭代求解法

迭代求解法通过不断逼近的方式逐步求解方程组。其基本思想是根据初始猜测，通过迭代更新变量值，直至达到收敛条件。

#### 2.2.1 雅可比迭代法

雅可比迭代法是一种常见的迭代求解法。其基本思想是将方程组分解为对角矩阵和非对角矩阵，然后通过迭代更新变量值，直至达到收敛条件。

**算法步骤：**

1. 初始化变量值。
2. 逐个求解变量，将已求得的变量代入其他方程。
3. 重复步骤2，直至达到收敛条件。

**代码块：**

function x = jacobi_iteration(A, b, tol, max_iter)
    % 雅可比迭代法求解线性方程组
    % 输入：系数矩阵A，右端项向量b，容差tol，最大迭代次数max_iter
    % 输出：解向量x

    % 初始化变量值
    n = size(A, 1);
    x = zeros(n, 1);

    % 迭代求解
    for iter = 1:max_iter
        x_old = x;
        for i = 1:n
            x(i) = (b(i) - A(i, [1:i-1, i+1:n]) * x([1:i-1, i+1:n])) / A(i, i);
        end

        % 检查收敛条件
        if norm(x - x_old) < tol
            break;
        end
    end
end

**逻辑分析：**

* 初始化变量值后，逐个求解变量，将已求得的变量代入其他方程。
* 迭代过程中，检查收敛条件，当变量值变化小于容差tol时，停止迭代。

#### 2.2.2 高斯-赛德尔迭代法

高斯-赛德尔迭代法是一种改进的雅可比迭代法。其基本思想是利用已求得的变量值更新其他变量，从而加快收敛速度。

**算法步骤：**

1. 初始化变量值。
2. 逐个求解变量，将已求得的变量立即代入其他方程。
3. 重复步骤2，直至达到收敛条件。

**代码块：**

function x = gauss_seidel_iteration(A, b, tol, max_iter)
    % 高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组
    % 输入：系数矩阵A，右端项向量b，容差tol，最大迭代次数max_iter
    % 输出：解向量x

    % 初始化变量值
    n = size(A, 1);
    x = zeros(n, 1);

    % 迭代求解
    for