动态规划：巧用记忆化，解决复杂优化问题

# 1. 动态规划的理论基础

动态规划是一种自顶向下的优化策略，它将复杂问题分解为一系列重叠的子问题，并通过存储子问题的最优解来避免重复计算。

动态规划的关键思想在于：

* **子问题重叠：**复杂问题可以分解为多个重叠的子问题，这些子问题可以独立求解。
* **最优子结构：**子问题的最优解可以用来构造整个问题的最优解。
* **记忆化：**通过存储子问题的最优解，避免重复计算。

# 2. 动态规划的实践技巧

动态规划的实践技巧主要包括记忆化和状态转移方程。本章节将详细介绍这两种技巧，并通过代码示例加以说明。

### 2.1 记忆化：解决重叠子问题

**2.1.1 记忆化表的构建和使用**

记忆化是一种优化动态规划算法的技巧，它通过记录子问题的解来避免重复计算。具体而言，记忆化表是一个哈希表，它将子问题的输入作为键，将子问题的解作为值。当一个子问题再次出现时，算法可以从记忆化表中直接获取解，而无需重新计算。

def fib_with_memoization(n, memo={}):
    """
    计算斐波那契数列的第 n 项，使用记忆化优化。

    参数：
        n: 要计算的斐波那契数列的项数。
        memo: 一个字典，用于存储已经计算过的子问题的解。

    返回：
        斐波那契数列的第 n 项。
    """
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return n
    memo[n] = fib_with_memoization(n - 1, memo) + fib_with_memoization(n - 2, memo)
    return memo[n]

**代码逻辑分析：**

* 函数 `fib_with_memoization` 接受两个参数：`n`（要计算的斐波那契数列的项数）和一个可选的字典 `memo`（用于存储已经计算过的子问题的解）。
* 如果 `n` 在 `memo` 字典中，则直接返回 `memo[n]`，表示该子问题的解已经计算过。
* 如果 `n` 不在 `memo` 字典中，则递归计算 `fib_with_memoization(n - 1)` 和 `fib_with_memoization(n - 2)`，并将结果相加。
* 将计算结果存储在 `memo[n]` 中，以备将来使用。
* 返回计算结果。

**2.1.2 记忆化的适用场景**

记忆化适用于存在重叠子问题的动态规划算法。重叠子问题是指同一子问题在算法的不同阶段被多次计算。例如，在计算斐波那契数列时，对于第 `n` 项，需要计算第 `n-1` 项和第 `n-2` 项。如果不对这些子问题进行记忆化，则算法将重复计算相同的子问题，导致效率低下。

### 2.2 状态转移方程：推导最优解

**2.2.1 状态转移方程的组成要素**

状态转移方程是动态规划算法的核心，它描述了如何从子问题的解推导出当前问题的解。状态转移方程通常由以下三个要素组成：

* **状态：**表示问题的当前状态。
* **状态转移函数：**描述如何从当前状态转移到下一个状态。
* **最优子结构：**表示从当前状态到最终状态的最佳解决方案。

**2.2.2 推导状态转移方程的步骤**

推导状态转移方程的步骤如下：

1. **定义状态：**确定问题的状态，即问题的关键特征。
2. **确定状态转移函数：**考虑如何从当前状态转移到下一个状态，并确定转移函数。
3. **寻找最优子结构：**确定从当前状态到最终状态的最佳解决方案，并将其表示为状态转移函数的一部分。

def longest_common_subsequence(s1, s2):
    """
    计算两个字符串的最长公共子序列。

    参数：
        s1: 第一个字符串。
        s2: 第二个字符串。

    返回：
        两个字符串的最长公共子序列。
    """
    m, n = len(s1),