MATLAB有限元分析仿真在结构力学中的应用：实战案例解析

# 1. MATLAB有限元分析概述**

MATLAB有限元分析是一种利用MATLAB软件平台进行有限元分析的方法。有限元分析是一种数值方法，用于求解复杂工程问题的近似解。它将连续的结构或域离散为有限数量的单元，并通过求解单元方程来获得整体问题的近似解。

MATLAB有限元分析工具箱提供了丰富的功能，包括网格划分、模型创建、求解器和后处理工具。它可以用于解决各种工程问题，包括结构力学、流体力学和热传递。

# 2. 有限元分析理论基础**

有限元分析是一种数值方法，用于求解复杂几何形状和材料非线性的力学问题。它将连续的结构域离散成有限数量的单元，并通过求解每个单元内的方程来近似求解整个结构的响应。

**2.1 有限元法的基本原理**

**2.1.1 有限元网格划分**

有限元分析的第一步是将连续的结构域离散成有限数量的单元。这些单元可以是一维的（例如，梁）、二维的（例如，板）或三维的（例如，实体）。单元的形状和大小根据结构的几何形状和加载条件进行选择。

**2.1.2 形函数和单元刚度矩阵**

每个单元的位移场由一组称为形函数的函数近似。形函数定义了单元内位移的变化方式。单元刚度矩阵是描述单元刚度的矩阵，它包含了单元材料和几何形状的信息。

**2.2 材料模型和边界条件**

**2.2.1 弹性材料模型**

弹性材料模型假设材料在弹性极限内遵循胡克定律。胡克定律将应力与应变线性相关联，其表达式为：

σ = Eε

其中：

* σ 是应力
* E 是杨氏模量
* ε 是应变

**2.2.2 塑性材料模型**

塑性材料模型考虑了材料的非线性行为。当应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形。塑性材料模型通常采用本构方程来描述材料的应力-应变关系。

**2.2.3 边界条件的设置**

边界条件指定了结构外部的约束。边界条件可以是位移边界条件（例如，固定边界）或力边界条件（例如，施加载荷）。边界条件对于求解有限元方程组至关重要。

**代码块：**

% 定义材料属性
E = 200e9; % 杨氏模量 (Pa)
v = 0.3; % 泊松比

% 定义单元刚度矩阵
K = [
    12E*A/(L^3)   6E*A/(L^2*H)   -12E*A/(L^3)  -6E*A/(L^2*H)
    6E*A/(L^2*H)  4E*A*H/(L^3)    -6E*A/(L^2*H) -2E*A*H/(L^3)
    -12E*A/(L^3) -6E*A/(L^2*H)  12E*A/(L^3)   6E*A/(L^2*H)
    -6E*A/(L^2*H) -2E*A*H/(L^3)    6E*A/(L^2*H)  4E*A*H/(L^3)
];

% 定义边界条件
fixed_dofs = [1, 2, 3, 4]; % 固定边界节点的自由度

% 求解有限元方程组
d = solve_fem(K, f, fixed_dofs);

**代码逻辑分析：**

* 第 4-7 行定义了材料属性，包括杨氏模量和泊松比。
* 第 10-17 行定义了单元刚度矩阵，其中 A 是单元截面积，L 是单元长度，H 是单元高度。
* 第 20 行定义了固定边界节点的自由度。
* 第